Номер 296, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

296. Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость α, проведённая через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол φ. Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. Высота призмы $AA_1 = h$. Так как призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками. Обозначим длину стороны основания через $a$, то есть $AB = BC = CA = a$.

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через среднюю линию нижнего основания. Пусть $M$ — середина стороны $AC$, а $N$ — середина стороны $BC$. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $MN$ параллельна стороне $AB$ и ее длина равна половине длины этой стороны: $MN = \frac{a}{2}$.

Плоскость $\alpha$ также проходит через сторону верхнего основания, параллельную этой средней линии. Сторона $A_1B_1$ верхнего основания параллельна стороне $AB$, а значит, и средней линии $MN$. Таким образом, сечение проходит через точки $M, N, B_1, A_1$. Сечением является четырехугольник $MNB_1A_1$.

Поскольку прямая $MN$ лежит в плоскости нижнего основания, а прямая $A_1B_1$ — в плоскости верхнего основания, и эти плоскости параллельны, то отрезки $MN$ и $A_1B_1$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $MNB_1A_1$ является трапецией. Найдем длины боковых сторон $MA_1$ и $NB_1$. В прямоугольном треугольнике $AMA_1$ (где $\angle A_1AM = 90^\circ$) по теореме Пифагора имеем $MA_1^2 = AM^2 + AA_1^2 = (\frac{a}{2})^2 + h^2$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BNB_1$, $NB_1^2 = BN^2 + BB_1^2 = (\frac{a}{2})^2 + h^2$. Так как $MA_1 = NB_1$, трапеция $MNB_1A_1$ — равнобедренная.

Двугранный угол $\phi$ между плоскостью сечения $\alpha$ и плоскостью нижнего основания $ABC$ — это угол между этими плоскостями. Их общей линией является прямая $MN$. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к линии пересечения $MN$ в одной точке, лежащие в этих плоскостях.

Пусть $K$ — середина стороны $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CK$ является также и высотой, поэтому $CK \perp AB$. Так как $MN \parallel AB$, то $CK \perp MN$. Пусть $P$ — точка пересечения $CK$ и $MN$.

В равнобедренной трапеции $MNB_1A_1$ отрезок, соединяющий середины оснований, является ее высотой. Пусть $K_1$ — середина $A_1B_1$. Тогда $PK_1$ — высота трапеции, и, следовательно, $PK_1 \perp MN$.

Таким образом, угол $\angle K_1PK$ — это линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, то есть $\angle K_1PK = \phi$.

Рассмотрим треугольник $K_1PK$. Проекция точки $K_1$ на плоскость нижнего основания — это точка $K$. Отрезок $K_1K$ перпендикулярен плоскости основания и, в частности, прямой $PK$. Значит, треугольник $K_1PK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$. Катет $K_1K$ равен высоте призмы: $K_1K = h$.

Найдем длину катета $PK$. Отрезок $PK$ равен расстоянию между параллельными прямыми $MN$ и $AB$. Высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$, равна $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как $MN$ — средняя линия, то точка $P$ делит высоту $CK$ так, что $CP = PK$. Следовательно, $PK = \frac{1}{2} CK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Из прямоугольного треугольника $K_1PK$ находим:$\text{tg}\phi = \frac{K_1K}{PK} = \frac{h}{a\sqrt{3}/4}$.

Отсюда выразим сторону основания $a$ через $h$ и $\phi$:$a = \frac{4h}{\sqrt{3}\text{tg}\phi}$.

Площадь сечения $S$ можно найти через площадь его ортогональной проекции на плоскость основания. Проекцией трапеции $MNB_1A_1$ на плоскость $ABC$ является трапеция $MNBA$. Площадь проекции $S_{пр}$ и площадь сечения $S$ связаны соотношением $S = \frac{S_{пр}}{\cos\phi}$.

Найдем площадь трапеции $MNBA$. Ее основания равны $MN = \frac{a}{2}$ и $AB = a$, а высота равна $PK = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.$S_{пр} = \frac{1}{2}(MN + AB) \cdot PK = \frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} + a\right) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{16}$.

Подставим в это выражение ранее найденное выражение для $a$:$S_{пр} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \left(\frac{4h}{\sqrt{3}\text{tg}\phi}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{16} \cdot \frac{16h^2}{3\text{tg}^2\phi} = \frac{\sqrt{3}h^2}{\text{tg}^2\phi}$.

Теперь найдем площадь сечения $S$:$S = \frac{S_{пр}}{\cos\phi} = \frac{\sqrt{3}h^2/\text{tg}^2\phi}{\cos\phi} = \frac{\sqrt{3}h^2}{\text{tg}^2\phi \cos\phi}$.

Упростим полученное выражение, используя то, что $\text{tg}\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi}$:$S = \frac{\sqrt{3}h^2}{(\sin^2\phi/\cos^2\phi) \cdot \cos\phi} = \frac{\sqrt{3}h^2}{\sin^2\phi/\cos\phi} = \frac{\sqrt{3}h^2\cos\phi}{\sin^2\phi}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}h^2\cos\phi}{\sin^2\phi}$.