Номер 291, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами основания $AB = a$, $BC = b$ и высотой $AA_1 = h$. Диагональ параллелепипеда $AC_1$ имеет длину $d$.

Угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $(ABC)$ по условию равен $\phi$. Этот угол является углом между самой диагональю и её проекцией на плоскость основания, то есть углом $\angle C_1AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$ (поскольку ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию, $\angle ACC_1 = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Катет $CC_1$ является высотой параллелепипеда: $h = CC_1 = AC_1 \sin(\angle C_1AC) = d \sin(\phi)$.
• Катет $AC$ является диагональю основания: $AC = AC_1 \cos(\angle C_1AC) = d \cos(\phi)$.

По условию, диагональ $AC_1$ образует угол $\theta$ с одной из сторон основания. Пусть это сторона $AB = a$. Угол между отрезками $AC_1$ и $AB$ — это угол $\angle C_1AB = \theta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $BC_1$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABC_1 = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC_1$:

• Катет $AB$ является стороной основания: $a = AB = AC_1 \cos(\angle C_1AB) = d \cos(\theta)$.

Теперь найдем вторую сторону основания, $b = BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ в основании ($\angle ABC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$, то есть $AC^2 = a^2 + b^2$.

Выразим отсюда $b^2$ и подставим ранее найденные выражения для $AC$ и $a$:

$b^2 = AC^2 - a^2 = (d \cos(\phi))^2 - (d \cos(\theta))^2 = d^2 \cos^2(\phi) - d^2 \cos^2(\theta) = d^2(\cos^2(\phi) - \cos^2(\theta))$.

Тогда $b = \sqrt{d^2(\cos^2(\phi) - \cos^2(\theta))} = d \sqrt{\cos^2(\phi) - \cos^2(\theta)}$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда $S_{бок}$ равна удвоенному произведению периметра основания на высоту:

$S_{бок} = 2(a+b)h$.

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $h$ в эту формулу:

$S_{бок} = 2(d \cos(\theta) + d \sqrt{\cos^2(\phi) - \cos^2(\theta)}) \cdot (d \sin(\phi))$.

После преобразования получаем окончательное выражение:

$S_{бок} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) - \cos^2(\theta)})$.

Ответ: $S_{бок} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) - \cos^2(\theta)})$.