Номер 11, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

Да, такая четырёхугольная пирамида существует. Докажем это.

Пусть дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — основание, лежащее в плоскости $\alpha$, а $S$ — вершина. Предположим, что две её противоположные боковые грани, например, грань $SAB$ и грань $SDC$, перпендикулярны плоскости основания $\alpha$.

Плоскость грани $SAB$ обозначим как $\beta_1$, а плоскость грани $SDC$ — как $\beta_2$. По условию, $\beta_1 \perp \alpha$ и $\beta_2 \perp \alpha$.

Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ не параллельны, так как они содержат грани пирамиды, сходящиеся в вершине $S$. Следовательно, они пересекаются. Линией их пересечения является прямая, проходящая через вершину $S$. Обозначим эту прямую $l$.

Согласно приведённой теореме, поскольку $\beta_1 \perp \alpha$ и $\beta_2 \perp \alpha$, их линия пересечения $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины $S$, лежит на прямой $l$.

Теперь рассмотрим три плоскости: $\beta_1 = (SAB)$, $\beta_2 = (SDC)$ и плоскость основания $\alpha$. Линиями их попарного пересечения являются:

• прямая $l = \beta_1 \cap \beta_2$
• прямая $AB = \beta_1 \cap \alpha$
• прямая $DC = \beta_2 \cap \alpha$

По теореме о трёх плоскостях, эти три прямые ($l$, $AB$ и $DC$) должны либо пересекаться в одной точке, либо быть параллельными друг другу.

Случай, когда прямые параллельны ($l \parallel AB \parallel DC$), невозможен. Прямые $AB$ и $DC$ лежат в плоскости $\alpha$. Если бы прямая $l$ была им параллельна, она была бы параллельна и всей плоскости $\alpha$. Но мы установили, что $l \perp \alpha$. Прямая не может быть одновременно перпендикулярна и параллельна плоскости. Это противоречие.

Следовательно, остаётся единственный возможный вариант: прямые $l$, $AB$ и $DC$ пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $H$.

То, что прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $H$, означает, что основанием пирамиды должен быть четырёхугольник, у которого прямые, содержащие противоположные стороны, пересекаются. То есть, основание не может быть параллелограммом или трапецией (если речь о паре параллельных сторон).

Точка $H$ также является основанием высоты пирамиды, так как высота лежит на прямой $l$, проходящей через $S$ и $H$.

Таким образом, для существования такой пирамиды необходимо, чтобы прямые, содержащие противоположные стороны основания (соответствующие перпендикулярным граням), пересекались. Вершина пирамиды должна лежать на перпендикуляре к плоскости основания, восстановленном из точки пересечения этих прямых.

Приведём пример построения такой пирамиды:

1. В качестве основания возьмём четырёхугольник $ABCD$ такой, что прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в некоторой точке $H$.
2. Из точки $H$ проведём прямую $l$, перпендикулярную плоскости основания $ABCD$.
3. На прямой $l$ выберем любую точку $S$ (отличную от $H$) и примем её за вершину пирамиды.

В построенной пирамиде $SABCD$ прямая $SH$ является высотой.

• Плоскость $(SAB)$ проходит через точки $S$ и $H$ (так как $H$ лежит на прямой $AB$), значит, она содержит высоту $SH$. Так как плоскость $(SAB)$ содержит перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $(SAB) \perp \alpha$.
• Аналогично, плоскость $(SDC)$ проходит через точки $S$ и $H$ (так как $H$ лежит на прямой $DC$), значит, она содержит высоту $SH$. Следовательно, $(SDC) \perp \alpha$.

Мы построили пирамиду, удовлетворяющую условию.

Ответ: Да, существует. Такая пирамида возможна, если её основанием является четырёхугольник, у которого прямые, содержащие пару противоположных сторон, пересекаются. Вершина пирамиды при этом должна проецироваться в точку пересечения этих прямых.