Номер 6, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

6. Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?

Да, может.

Для того чтобы понять, при каких условиях это возможно, давайте разберем определения высоты призмы и высоты боковой грани.

Высота призмы — это расстояние между плоскостями ее оснований. Геометрически это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого основания. Обозначим ее $H$.

Высота боковой грани — это высота параллелограмма, который является этой гранью. Эта высота проводится к стороне параллелограмма, которая лежит на основании призмы. Обозначим ее $h_{грани}$.

Теперь рассмотрим условие, при котором эти две высоты могут совпадать. Пусть у нас есть наклонная призма $ABCA_1B_1C_1...$ с основанием $ABC...$ в плоскости $\alpha$ и основанием $A_1B_1C_1...$ в плоскости $\beta$.

Возьмем боковую грань, например, $ABB_1A_1$. Высота этой грани, проведенная из вершины $A_1$ к основанию $AB$, — это перпендикуляр $A_1K$, опущенный из точки $A_1$ на прямую, содержащую отрезок $AB$. То есть $h_{грани} = A_1K$ и $A_1K \perp AB$.

Высота призмы, проведенная из той же точки $A_1$, — это перпендикуляр $A_1P$, опущенный из точки $A_1$ на плоскость основания $\alpha$. То есть $H = A_1P$ и $A_1P \perp \alpha$.

Чтобы высота грани $A_1K$ являлась высотой призмы $A_1P$, необходимо, чтобы отрезок $A_1K$ был перпендикулярен всей плоскости основания $\alpha$. То есть точки $K$ и $P$ должны совпасть.Если $A_1K \perp \alpha$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1K$ должна быть перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $K$. Мы уже знаем, что $A_1K \perp AB$.

Условие, при котором высота боковой грани совпадает с высотой призмы, заключается в том, что плоскость этой боковой грани должна быть перпендикулярна плоскости основания призмы.Покажем, что это возможно для наклонной призмы. Призма называется наклонной, если ее боковые ребра (например, $A_1A$) не перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим случай, когда плоскость грани $ABB_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Тогда высота призмы $H$, опущенная из точки $A_1$, будет лежать в плоскости $ABB_1A_1$ и будет перпендикулярна линии пересечения плоскостей, то есть прямой $AB$. Но это в точности совпадает с определением высоты $h_{грани}$ параллелограмма $ABB_1A_1$. При этом боковое ребро $A_1A$ не обязано быть перпендикулярным основанию. Если ребро $A_1A$ не совпадает с высотой $A_1K$, то призма будет наклонной.

Таким образом, высота боковой грани наклонной призмы может являться и высотой самой призмы.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, когда плоскость боковой грани перпендикулярна плоскости основания призмы.