Номер 1, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. Какое наименьшее число рёбер может иметь многогранник?

1

Чтобы найти наименьшее возможное число рёбер у многогранника, нужно рассмотреть его фундаментальные свойства. Многогранник — это трёхмерное тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников (граней).

Для существования многогранника должны выполняться следующие условия:

• Каждая грань должна быть многоугольником. Самый простой многоугольник — это треугольник, у которого 3 стороны (которые являются рёбрами многогранника). Значит, любая грань имеет не менее 3 рёбер.
• В каждой вершине многогранника должно сходиться не менее 3 рёбер. Это необходимо для создания объёмной фигуры в этой точке.
• Каждое ребро является общим ровно для двух граней.

Самым простым многогранником, удовлетворяющим этим условиям, является тетраэдр (треугольная пирамида). Он имеет:

• 4 треугольные грани;
• 4 вершины;
• 6 рёбер (3 ребра в основании и 3 боковых ребра).

Таким образом, существует многогранник с 6 рёбрами. Чтобы доказать, что это наименьшее возможное число, можно применить формулу Эйлера для выпуклых многогранников:

$В - Р + Г = 2$

где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней.

Из основных свойств многогранника выведем два неравенства:

1. Так как каждая грань имеет минимум 3 ребра, а каждое ребро принадлежит двум граням, то общее число рёбер, подсчитанное по граням ($3 \times Г$), не может быть больше удвоенного числа рёбер ($2 \times Р$). То есть, $3Г \le 2Р$, или $Г \le \frac{2}{3}Р$.

2. Так как в каждой вершине сходится минимум 3 ребра, а каждое ребро соединяет две вершины, то общее число рёбер, подсчитанное по вершинам ($3 \times В$), не может быть больше удвоенного числа рёбер ($2 \times Р$). То есть, $3В \le 2Р$, или $В \le \frac{2}{3}Р$.

Теперь подставим эти неравенства в формулу Эйлера:

$2 = В - Р + Г \le \frac{2}{3}Р - Р + \frac{2}{3}Р$

Упростим выражение:

$2 \le \frac{4}{3}Р - Р$

$2 \le \frac{1}{3}Р$

Отсюда следует, что:

$Р \ge 6$

Доказательство показывает, что любой выпуклый многогранник должен иметь как минимум 6 рёбер. Поскольку тетраэдр имеет ровно 6 рёбер, это и есть наименьшее возможное значение.

Ответ: 6.