Номер 284, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

284. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?

Исходная фигура — правильный тетраэдр. Это многогранник, у которого $4$ вершины, $6$ ребер и $4$ грани. Все грани являются равносторонними треугольниками. В данной задаче длина ребра исходного тетраэдра равна $2$.

От каждой из $4$ вершин отсекают малый правильный тетраэдр с ребром $1$. Рассмотрим, что происходит при отсечении тетраэдра от одной вершины. Пусть из вершины $A$ выходят три ребра $AB$, $AC$, $AD$, каждое длиной $2$. Отсечение малого тетраэдра с ребром $1$ означает, что на каждом из этих ребер мы отмечаем точку на расстоянии $1$ от вершины $A$. Так как исходные ребра имеют длину $2$, эти точки являются серединами ребер $AB$, $AC$ и $AD$.

Эта операция повторяется для всех $4$ вершин. В результате усечения каждая из $4$ вершин исходного тетраэдра заменяется новой гранью. Эта новая грань представляет собой треугольник, вершины которого — середины трех ребер, сходящихся в исходной вершине. Так как эти ребра образуют грани в виде равносторонних треугольников (с углом $60^\circ$ при вершине), то новая грань также является равносторонним треугольником со стороной $1$. Таким образом, мы получаем $4$ новые грани в виде равносторонних треугольников со стороной $1$.

Теперь рассмотрим, что стало с исходными гранями тетраэдра. Каждая исходная грань была равносторонним треугольником со стороной $2$. Процесс отсечения малых тетраэдров от каждой из трех вершин этого треугольника "срезает" его углы. Срез проходит через середины сторон. Например, для грани $BCD$, срезы пройдут через середины ребер $BC$, $CD$ и $DB$. Центральная часть, которая останется от исходной грани, будет представлять собой равносторонний треугольник, соединяющий эти середины. По свойству средней линии треугольника, стороны этого нового треугольника будут в два раза меньше сторон исходного, то есть их длина будет равна $2 / 2 = 1$. Так как у исходного тетраэдра было $4$ грани, мы получаем еще $4$ грани, которые являются равносторонними треугольниками со стороной $1$.

В итоге получился многогранник, у которого $4 + 4 = 8$ граней. Все $8$ граней являются одинаковыми равносторонними треугольниками со стороной $1$. Такой многогранник называется октаэдром. Поскольку все его грани — одинаковые правильные многоугольники, это правильный октаэдр.

Вершинами полученного многогранника являются середины $6$ ребер исходного тетраэдра, то есть у него $6$ вершин. Количество ребер у него равно $12$ (у каждой из $8$ треугольных граней по $3$ ребра, и каждое ребро общее для двух граней: $(8 \times 3) / 2 = 12$). Все эти характеристики (8 граней, 6 вершин, 12 ребер) соответствуют правильному октаэдру.

Ответ: В результате получится правильный октаэдр с ребром $1$.