Номер 283, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

283. В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани ВDС; б) перпендикулярно к ребру AD.

Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. Центр грани $ABC$ (правильного треугольника) — это точка $O$ пересечения его медиан (высот, биссектрис). Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Тогда $O$ лежит на $AM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины, то есть $AO = \frac{2}{3}AM$. Длина медианы (и высоты) в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

а) Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и параллельна грани $BDC$. Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной одной из его граней, является многоугольником, подобным этой грани. В данном случае сечение — это треугольник, подобный правильному треугольнику $BDC$. Следовательно, сечение также является правильным треугольником.

Это сечение можно рассматривать как результат гомотетии (преобразования подобия) с центром в вершине $A$, которая переводит грань $BDC$ в плоскость сечения. Коэффициент подобия $k$ определяет отношение сторон сечения к сторонам грани $BDC$. Площадь сечения $S_a$ будет связана с площадью грани $S_{BDC}$ соотношением $S_a = k^2 \cdot S_{BDC}$.

Для нахождения коэффициента $k$ рассмотрим плоскость, проходящую через ребро $AD$ и медиану $AM$ грани $ABC$. Эта плоскость $(ADM)$ пересекает грань $BDC$ по ее медиане $DM$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(BDC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ADM)$ будет прямой, параллельной $DM$. Эта прямая проходит через точку $O$, так как $O \in \alpha$ и $O \in (ADM)$, и пересекает ребро $AD$ в некоторой точке $P$.

В треугольнике $ADM$ проведена прямая $OP$, параллельная стороне $DM$ ($O$ лежит на $AM$, $P$ лежит на $AD$). Из подобия треугольников $\triangle AOP$ и $\triangle AMD$ следует отношение: $k = \frac{AP}{AD} = \frac{AO}{AM}$.

Так как $O$ — центр грани $ABC$, то $AO = \frac{2}{3}AM$. Подставляя это в отношение, получаем: $k = \frac{\frac{2}{3}AM}{AM} = \frac{2}{3}$.

Площадь грани $BDC$ (правильного треугольника со стороной $a$) равна: $S_{BDC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь можем найти площадь сечения: $S_a = k^2 \cdot S_{BDC} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.

б) Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна ребру $AD$. Определим форму сечения. Поскольку плоскость $\beta$ перпендикулярна ребру $AD$, она отсекает вершину $A$ от остальной части тетраэдра. Следовательно, плоскость пересекает три ребра, выходящие из вершины $A$: $AB$, $AC$ и $AD$. Пусть точки пересечения — $P$, $Q$ и $H$ соответственно. Сечением является треугольник $PQH$.

Найдем положение точки $H$ на ребре $AD$. Высота тетраэдра $DO_D$, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$, падает в центр $O$ этой грани. Рассмотрим треугольник $ADO$. В нем $AD=a$, $AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Высота тетраэдра $DO_D = DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Поскольку $AO^2+DO^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{2a^2}{3} = a^2 = AD^2$, треугольник $ADO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Плоскость $\beta$ перпендикулярна $AD$ и проходит через $O$. Ее след в плоскости $(ADO)$ — это прямая, проходящая через $O$ и перпендикулярная $AD$. Эта прямая является высотой треугольника $ADO$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AD$. Точка $H$ — основание этой высоты. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $AO^2 = AH \cdot AD$. $AH = \frac{AO^2}{AD} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}{a} = \frac{\frac{a^2}{3}}{a} = \frac{a}{3}$.

Теперь найдем положение точек $P$ и $Q$. Точка $P$ лежит на пересечении плоскости $\beta$ и ребра $AB$. Рассмотрим грань $ABD$, которая является правильным треугольником. Секущая плоскость $\beta$ пересекает ее по прямой $PH$, которая перпендикулярна $AD$. В треугольнике $APH$ угол $\angle PAH = \angle DAB = 60^\circ$, а угол $\angle AHP = 90^\circ$. Следовательно: $AP = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/3}{1/2} = \frac{2a}{3}$.

Аналогично, для точки $Q$ на ребре $AC$ в грани $ACD$ получаем $AQ = \frac{2a}{3}$. Сечением является треугольник $PQH$. Найдем длины его сторон. В треугольнике $APQ$ стороны $AP = AQ = \frac{2a}{3}$, а угол $\angle PAQ = 60^\circ$. Значит, $\triangle APQ$ — равносторонний, и $PQ=AP=\frac{2a}{3}$. Но это неверно, так как $\triangle APQ$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом $k = AP/AB = (2a/3)/a = 2/3$. Значит $PQ = \frac{2}{3} BC = \frac{2a}{3}$.

Найдем длины боковых сторон $PH$ и $QH$. В треугольнике $APH$ имеем $AP = \frac{2a}{3}$, $AH=\frac{a}{3}$, $\angle PAH = 60^\circ$. По теореме косинусов: $PH^2 = AP^2 + AH^2 - 2 \cdot AP \cdot AH \cdot \cos(60^\circ) = \left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = \frac{3a^2}{9} = \frac{a^2}{3}$. $PH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

По симметрии $QH = PH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Сечение $PQH$ — равнобедренный треугольник с основанием $PQ = \frac{2a}{3}$ и боковыми сторонами $PH=QH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $HK$ из вершины $H$ к основанию $PQ$. Так как треугольник равнобедренный, $K$ — середина $PQ$, $PK = \frac{1}{2}PQ = \frac{a}{3}$. Высота $HK = \sqrt{PH^2 - PK^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{3a^2-a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.

Площадь сечения $S_b$: $S_b = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot HK = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{3} = \frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.