Номер 287, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

287. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину $a$. Удобно представить октаэдр как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные общим основанием, которое является квадратом.

а) двумя его противоположными вершинами;

Пусть октаэдр состоит из двух пирамид с общим квадратным основанием $BCDE$ и вершинами-полюсами $A$ и $F$. Все ребра октаэдра равны $a$, значит, стороны квадрата $BCDE$ также равны $a$ (например, $BC=CD=a$).

Противоположные вершины — это, например, вершины $B$ и $D$, лежащие в плоскости основания, или вершины-полюсы $A$ и $F$.

Расстояние между вершинами $B$ и $D$ — это диагональ квадрата $BCDE$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда находим расстояние $BD$:

$BD = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Это расстояние одинаково для любой пары противоположных вершин правильного октаэдра.

Ответ: $a\sqrt{2}$

б) центрами двух смежных граней;

Смежные грани — это грани, имеющие общее ребро. Для решения этой задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр октаэдра в начале координат $O(0,0,0)$. Как было показано в пункте (а), расстояние между противоположными вершинами (диагональ октаэдра) равно $a\sqrt{2}$. Следовательно, расстояние от центра до любой вершины равно половине этой диагонали, то есть $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Расположим вершины на осях координат: $A(\frac{a\sqrt{2}}{2}, 0, 0)$, $B(-\frac{a\sqrt{2}}{2}, 0, 0)$, $C(0, \frac{a\sqrt{2}}{2}, 0)$, $D(0, -\frac{a\sqrt{2}}{2}, 0)$, $E(0, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2})$, $F(0, 0, -\frac{a\sqrt{2}}{2})$.

Возьмем две смежные грани, например, грань с вершинами $A, C, E$ и грань с вершинами $A, D, E$. Они имеют общее ребро $AE$.

Центр грани (правильного треугольника) — это ее центроид, координаты которого равны среднему арифметическому координат вершин.

Найдем центр $M_1$ грани $ACE$:

$M_1 = \left(\frac{a\sqrt{2}/2+0+0}{3}, \frac{0+a\sqrt{2}/2+0}{3}, \frac{0+0+a\sqrt{2}/2}{3}\right) = \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}, \frac{a\sqrt{2}}{6}, \frac{a\sqrt{2}}{6}\right)$

Найдем центр $M_2$ грани $ADE$:

$M_2 = \left(\frac{a\sqrt{2}/2+0+0}{3}, \frac{0-a\sqrt{2}/2+0}{3}, \frac{0+0+a\sqrt{2}/2}{3}\right) = \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}, -\frac{a\sqrt{2}}{6}, \frac{a\sqrt{2}}{6}\right)$

Теперь найдем расстояние $d$ между точками $M_1$ и $M_2$:

$d^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}-\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}-\left(-\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}-\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)^2 = 0^2 + \left(\frac{2a\sqrt{2}}{6}\right)^2 + 0^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{2a^2}{9}$

$d = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

в) противоположными гранями.

Противоположные грани октаэдра параллельны. Для решения этой задачи используем ту же систему координат, что и в пункте (б), где вершины октаэдра расположены на осях. Обозначим $k = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ — расстояние от центра до вершины. Координаты вершин: $(\pm k, 0, 0)$, $(0, \pm k, 0)$, $(0, 0, \pm k)$.

Рассмотрим две противоположные грани: грань $F_1$ с вершинами $(k,0,0), (0,k,0), (0,0,k)$ и грань $F_2$ с вершинами $(-k,0,0), (0,-k,0), (0,0,-k)$.

Найдем уравнение плоскости, содержащей грань $F_1$. Вектор нормали $\vec{n}$ к этой плоскости можно взять как $(1,1,1)$. Уравнение плоскости, проходящей через точку $(k,0,0)$: $1(x-k) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0$, что дает $x+y+z-k=0$.

Плоскость $F_2$ параллельна $F_1$ и проходит через точку $(-k,0,0)$. Ее уравнение: $1(x-(-k)) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0$, что дает $x+y+z+k=0$.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ находится по формуле $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

$d = \frac{|-k - k|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2k|}{\sqrt{3}} = \frac{2k}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $k = \frac{a\sqrt{2}}{2}$:

$d = \frac{2(a\sqrt{2}/2)}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$