Номер 7, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

7. Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?

а) Да, такая призма существует. Это может быть наклонная призма.

Рассмотрим свойства такой призмы. Пусть $L$ — боковое ребро призмы, а $E$ — ребро основания. Условие перпендикулярности ребра $L$ ребру $E$ ($L \perp E$) связано со свойством проекции ребра $L$ на плоскость основания. Пусть $P$ — проекция бокового ребра $L$ на плоскость основания. Согласно теореме о трех перпендикулярах, наклонная $L$ перпендикулярна прямой $E$ в плоскости основания тогда и только тогда, когда проекция наклонной $P$ перпендикулярна прямой $E$ ($P \perp E$).

Все боковые ребра призмы параллельны друг другу, следовательно, их проекции на плоскость основания также будут параллельны друг другу. Таким образом, задача сводится к следующему геометрическому вопросу: можно ли в плоскости многоугольника (основания призмы) провести прямую (направление проекций боковых ребер) так, чтобы она была перпендикулярна ровно одной стороне этого многоугольника?

Да, можно. Возьмем в качестве основания призмы треугольник $ABC$, у которого нет прямых углов. В плоскости этого треугольника проведем прямую $l$, перпендикулярную стороне $AB$. Так как у треугольника нет других сторон, перпендикулярных этой прямой (поскольку нет прямых углов и параллельных сторон), прямая $l$ будет перпендикулярна только стороне $AB$.

Теперь построим наклонную призму $ABCA_1B_1C_1$ так, чтобы проекция ее бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания была параллельна прямой $l$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах боковое ребро $AA_1$ будет перпендикулярно ребру основания $AB$, но не будет перпендикулярно ребрам $BC$ и $AC$.

Ответ: Да, существует.

б) Да, такая призма существует. Это также может быть наклонная призма.

Боковая грань призмы перпендикулярна плоскости ее основания тогда и только тогда, когда проекция бокового ребра на плоскость основания параллельна тому ребру основания, на котором построена эта боковая грань.

Докажем это. Пусть основание призмы лежит в плоскости $Oxy$, а ребро основания $A_1A_2$ — на оси $Ox$. Вектор этого ребра $\vec{e} = (a, 0, 0)$. Пусть боковое ребро задается вектором $\vec{l} = (u, v, w)$, где $w \neq 0$ для наклонной призмы. Проекцией бокового ребра на плоскость основания будет вектор $\vec{p} = (u, v, 0)$. Боковая грань является плоскостью, проходящей через векторы $\vec{e}$ и $\vec{l}$. Нормаль к этой плоскости можно найти как их векторное произведение: $\vec{n}_{грань} = \vec{e} \times \vec{l} = (0, -aw, av)$. Нормаль к плоскости основания — $\vec{n}_{основание} = (0, 0, 1)$. Плоскости перпендикулярны, если их векторы нормалей перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n}_{грань} \cdot \vec{n}_{основание} = 0 \cdot 0 + (-aw) \cdot 0 + av \cdot 1 = av = 0$. Поскольку $a \neq 0$, должно выполняться $v=0$. Условие $v=0$ означает, что вектор проекции $\vec{p}=(u,0,0)$ параллелен вектору ребра основания $\vec{e}=(a,0,0)$.

Следовательно, задача сводится к вопросу: существует ли многоугольник, для которого можно найти такое направление в его плоскости, что оно будет параллельно ровно одной его стороне?

Да, существует. Любой многоугольник, у которого нет параллельных сторон, подходит. Например, треугольник общего вида (разносторонний) или несимметричный четырехугольник.

Рассмотрим наклонную призму, в основании которой лежит треугольник $ABC$. Направим ее боковые ребра так, чтобы их проекция на плоскость основания была параллельна стороне $AB$. Тогда боковая грань, построенная на ребре $AB$, будет перпендикулярна плоскости основания. Две другие боковые грани (на ребрах $BC$ и $AC$) не будут перпендикулярны основанию, так как стороны $BC$ и $AC$ не параллельны проекции бокового ребра.

Ответ: Да, существует.