Номер 9, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 3. Глава 3. Многогранники - номер 9, страница 85.

9. Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?

Для ответа на этот вопрос, вспомним определение правильной пирамиды. Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника (центр вписанной и описанной окружностей).

Теперь рассмотрим условие задачи: боковые грани пирамиды являются правильными треугольниками. Пусть сторона этих равносторонних треугольников равна $a$.

1. Из этого условия следует, что все боковые ребра пирамиды равны между собой, так как они являются сторонами равных правильных треугольников, сходящихся в одной вершине. Длина каждого бокового ребра равна $a$.

2. Стороны основания пирамиды являются другими сторонами этих же правильных треугольников. Следовательно, все стороны многоугольника в основании также равны между собой и равны $a$.

3. Поскольку все боковые ребра пирамиды равны ($SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n = a$, где $S$ - вершина, а $A_1, A_2, \dots, A_n$ - вершины основания), то вершина $S$ равноудалена от всех вершин основания. Это означает, что существует окружность, описанная около многоугольника в основании, и проекция вершины $S$ на плоскость основания совпадает с центром этой окружности.

4. Многоугольник, у которого все стороны равны (пункт 2) и который можно вписать в окружность (пункт 3), является правильным многоугольником.

Таким образом, мы получили, что в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, и ее вершина проецируется в его центр. Это в точности соответствует определению правильной пирамиды.

Важно отметить, что такая пирамида может существовать не для любого числа сторон основания. Сумма плоских углов при вершине пространственного многогранного угла должна быть строго меньше $360^\circ$. Угол при вершине у каждого равностороннего треугольника равен $60^\circ$. Если в основании лежит n-угольник, то сумма углов при вершине пирамиды равна $n \times 60^\circ$.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$n \times 60^\circ < 360^\circ$

$n < 6$

Это означает, что такие пирамиды могут иметь в основании только правильный треугольник ($n=3$), квадрат ($n=4$) или правильный пятиугольник ($n=5$). Для $n \ge 6$ такую пирамиду построить невозможно, так как боковые грани "сложатся" в плоскость.

Ответ: Да, если такая пирамида существует (т.е. число сторон основания меньше 6), она всегда будет правильной. Это следует из того, что равенство боковых граней (правильных треугольников) влечет за собой равенство всех боковых ребер и всех сторон основания, что, в свою очередь, доказывает, что основание является правильным многоугольником, а вершина проецируется в его центр.