Номер 8, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?

Пусть дана правильная треугольная призма. Это означает, что ее основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Обозначим сторону основания призмы как $a$, а ее высоту как $h$.

Секущая плоскость проходит через средние линии оснований. Пусть в нижнем основании $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Аналогично, $M_1N_1$ — средняя линия в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Секущая плоскость $MNN_1M_1$ делит исходную призму на две новые призмы.

Первая часть — это меньшая правильная треугольная призма $MNCM_1N_1C_1$. Вторая часть — призма, основанием которой является трапеция $ABNM$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы. Найдем площади боковых поверхностей для каждой из двух полученных призм.

Площадь боковой поверхности первой призмы (меньшей, треугольной)

Основанием этой призмы является треугольник $MNC$. По свойству средней линии треугольника, $MN = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. Поскольку $M$ и $N$ — середины сторон, то $MC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$ и $NC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$. Таким образом, основание $MNC$ — равносторонний треугольник со стороной $\frac{a}{2}$.

Периметр ее основания равен $P_1 = MC + NC + MN = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$.

Площадь ее боковой поверхности составляет $S_1 = P_1 \cdot h = \frac{3a}{2} h$.

Площадь боковой поверхности второй призмы (трапециевидной)

Основанием этой призмы является равнобокая трапеция $ABNM$. Длины ее сторон: основания $AB=a$ и $MN=\frac{a}{2}$, боковые стороны $AM = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$ и $BN = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

Периметр ее основания равен $P_2 = AB + BN + NM + MA = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{5a}{2}$.

Площадь ее боковой поверхности составляет $S_2 = P_2 \cdot h = \frac{5a}{2} h$.

Отношение площадей

Теперь найдем отношение площадей боковых поверхностей полученных призм: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{3a}{2}h}{\frac{5a}{2}h} = \frac{3}{5} $$ Следовательно, искомое отношение равно $3:5$.

Ответ: Площади боковых поверхностей этих призм относятся как $3:5$.