Номер 5, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 3. Глава 3. Многогранники - номер 5, страница 85.

5. Является ли призма правильной, если все её рёбра равны друг другу?

Нет, не всегда. Чтобы призма была правильной, она должна одновременно удовлетворять двум условиям:
1. Её основаниями должны быть правильные многоугольники (то есть многоугольники, у которых все стороны и все углы равны).
2. Призма должна быть прямой (то есть её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а боковые грани — прямоугольники).

Рассмотрим призму, у которой все рёбра равны некоторой длине $a$. Проверим, выполняются ли для неё указанные выше условия.

1. Условие правильного многоугольника в основании.
Если все рёбра призмы равны $a$, то стороны её многоугольника в основании также равны $a$. Это означает, что в основании лежит равносторонний многоугольник. Однако не всякий равносторонний многоугольник является правильным. Например, если в основании четырёхугольной призмы лежит ромб, у него все стороны равны, но если его углы не прямые, он не является правильным многоугольником (правильным четырёхугольником является квадрат). Таким образом, призма, в основании которой лежит ромб (не квадрат), не является правильной, даже если все её рёбра равны.

2. Условие прямой призмы.
У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. В призме, у которой все рёбра равны $a$, боковые грани — это четырёхугольники, у которых все стороны равны $a$, то есть они являются ромбами. Ромб будет прямоугольником только в том случае, если он является квадратом. Если боковые грани — ромбы, но не квадраты, то призма не является прямой (она наклонная). Наклонная призма по определению не может быть правильной.

Примеры:
• Куб — это призма, у которой все рёбра равны. Его основания — квадраты (правильные многоугольники), а боковые грани — тоже квадраты (прямоугольники), поэтому куб является прямой призмой. Следовательно, куб — это пример правильной призмы с равными рёбрами.
• Ромбоэдр, все рёбра которого равны. Это призма, в основании которой лежит ромб. Если этот ромб не является квадратом, то призма не является правильной. Кроме того, если её боковые грани — тоже ромбы, а не квадраты, то она является наклонной, что также нарушает определение правильной призмы.

Таким образом, для того чтобы призма с равными рёбрами была правильной, необходимо, чтобы её основания были правильными многоугольниками, а боковые грани — квадратами. Это условие выполняется не всегда.

Ответ: Нет, призма, у которой все рёбра равны друг другу, не обязательно является правильной. Это утверждение верно только в частных случаях (например, для куба).