Номер 5, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 3. Глава 3. Многогранники - номер 5, страница 85.

Условие.

5. Является ли призма правильной, если все её рёбра равны друг другу?

Решение 2.

Решение 6.

Нет, не всегда. Чтобы призма была правильной, она должна одновременно удовлетворять двум условиям:
1. Её основаниями должны быть правильные многоугольники (то есть многоугольники, у которых все стороны и все углы равны).
2. Призма должна быть прямой (то есть её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а боковые грани — прямоугольники).

Рассмотрим призму, у которой все рёбра равны некоторой длине $a$. Проверим, выполняются ли для неё указанные выше условия.

1. Условие правильного многоугольника в основании.
Если все рёбра призмы равны $a$, то стороны её многоугольника в основании также равны $a$. Это означает, что в основании лежит равносторонний многоугольник. Однако не всякий равносторонний многоугольник является правильным. Например, если в основании четырёхугольной призмы лежит ромб, у него все стороны равны, но если его углы не прямые, он не является правильным многоугольником (правильным четырёхугольником является квадрат). Таким образом, призма, в основании которой лежит ромб (не квадрат), не является правильной, даже если все её рёбра равны.

2. Условие прямой призмы.
У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. В призме, у которой все рёбра равны $a$, боковые грани — это четырёхугольники, у которых все стороны равны $a$, то есть они являются ромбами. Ромб будет прямоугольником только в том случае, если он является квадратом. Если боковые грани — ромбы, но не квадраты, то призма не является прямой (она наклонная). Наклонная призма по определению не может быть правильной.

Примеры:
• Куб — это призма, у которой все рёбра равны. Его основания — квадраты (правильные многоугольники), а боковые грани — тоже квадраты (прямоугольники), поэтому куб является прямой призмой. Следовательно, куб — это пример правильной призмы с равными рёбрами.
• Ромбоэдр, все рёбра которого равны. Это призма, в основании которой лежит ромб. Если этот ромб не является квадратом, то призма не является правильной. Кроме того, если её боковые грани — тоже ромбы, а не квадраты, то она является наклонной, что также нарушает определение правильной призмы.

Таким образом, для того чтобы призма с равными рёбрами была правильной, необходимо, чтобы её основания были правильными многоугольниками, а боковые грани — квадратами. Это условие выполняется не всегда.

Ответ: Нет, призма, у которой все рёбра равны друг другу, не обязательно является правильной. Это утверждение верно только в частных случаях (например, для куба).