Номер 285, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

285. Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся геометрическим методом.

Рассмотрим правильный тетраэдр $ABCD$. По определению, все его грани ($ABC, ABD, ACD, BCD$) являются равными равносторонними треугольниками, а все ребра имеют одинаковую длину. Обозначим длину ребра тетраэдра как $a$.

Центр грани правильного тетраэдра — это точка пересечения её медиан, высот и биссектрис (центроид).

Возьмем две любые смежные грани, например, грань $ABC$ и грань $ABD$. Они имеют общее ребро $AB$. Пусть $O_1$ — центр грани $ABC$, а $O_2$ — центр грани $ABD$. Наша задача — найти длину отрезка $O_1O_2$ и показать, что она не зависит от выбора граней.

Проведем медианы из вершин $C$ и $D$ к общему ребру $AB$. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Тогда $CM$ — медиана (а также высота и биссектриса) треугольника $ABC$, а $DM$ — медиана треугольника $ABD$.

Так как грани $ABC$ и $ABD$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a$, длины их медиан равны:$CM = DM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Центр грани (центроид) делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, точка $O_1$ лежит на отрезке $CM$ так, что $MO_1 = \frac{1}{3}CM$. Аналогично, точка $O_2$ лежит на отрезке $DM$ так, что $MO_2 = \frac{1}{3}DM$.

Рассмотрим треугольник $CMD$. Точка $O_1$ лежит на его стороне $CM$, а точка $O_2$ — на стороне $DM$. Мы имеем следующие отношения:$\frac{MO_1}{MC} = \frac{1}{3}$ и $\frac{MO_2}{MD} = \frac{1}{3}$.

Поскольку $\frac{MO_1}{MC} = \frac{MO_2}{MD}$, то по теореме о пропорциональных отрезках (обратной теореме Фалеса), отрезок $O_1O_2$ параллелен стороне $CD$. Это также означает, что треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MCD$ по двум сторонам и углу между ними. Коэффициент подобия $k$ равен:$k = \frac{MO_1}{MC} = \frac{1}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:$\frac{O_1O_2}{CD} = k = \frac{1}{3}$.

Отсюда мы можем выразить длину отрезка $O_1O_2$:$O_1O_2 = \frac{1}{3}CD$.

Так как $CD$ — это ребро правильного тетраэдра, его длина равна $a$. Таким образом, мы нашли, что $O_1O_2 = \frac{a}{3}$.

Данный результат не зависит от выбора конкретной пары граней. Любые две грани в правильном тетраэдре смежные и имеют общее ребро. Если бы мы рассмотрели, например, грани $ACD$ и $BCD$ с общим ребром $CD$, то аналогичные рассуждения привели бы к выводу, что расстояние между их центрами равно $\frac{1}{3}AB$. Поскольку в правильном тетраэдре все ребра равны ($AB = CD = a$), расстояние между центрами любых двух граней будет одинаковым и равным $\frac{a}{3}$.

Таким образом, все отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны друг другу. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина каждого из отрезков, соединяющих центры граней, равна трети длины ребра тетраэдра ($a/3$), следовательно, все эти отрезки равны между собой.