Номер 278, страница 84 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

278. Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырёхугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырёхугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида?

а)

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму, не являющуюся кубом. В основании такой призмы лежит квадрат, а боковые грани являются прямоугольниками. Условие "отличная от куба" означает, что высота призмы $h$ не равна стороне основания $a$ ($h \neq a$). Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально равные части.

Плоскости симметрии такой призмы можно разделить на следующие группы:

1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и проходит через середины всех её боковых рёбер. Она делит призму на две одинаковые меньшие призмы.
2. Две вертикальные плоскости симметрии, проходящие через середины противолежащих сторон оснований. Каждая такая плоскость перпендикулярна основаниям и проходит через оси симметрии квадрата, соединяющие середины его противоположных сторон.
3. Две вертикальные диагональные плоскости симметрии. Каждая такая плоскость проходит через диагональ верхнего и нижнего оснований. Эти плоскости содержат две противоположные боковые грани.

Итого, общее количество плоскостей симметрии равно $1 + 2 + 2 = 5$.

Ответ: 5

б)

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду. В её основании лежит квадрат, а вершина пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники.

Все плоскости симметрии такой пирамиды должны проходить через её вершину. Если бы плоскость симметрии не проходила через вершину, она бы не могла разделить пирамиду на две зеркально равные части. Следовательно, плоскости симметрии будут вертикальными (перпендикулярными основанию) и будут проходить через оси симметрии квадрата, лежащего в основании.

Квадрат имеет четыре оси симметрии, что даёт нам четыре плоскости симметрии для пирамиды:

1. Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и прямые, соединяющие середины противолежащих сторон основания. Каждая такая плоскость содержит апофемы двух противоположных боковых граней.
2. Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали основания. Каждая такая плоскость содержит два противоположных боковых ребра.

Таким образом, всего у правильной четырёхугольной пирамиды $2 + 2 = 4$ плоскости симметрии.

Ответ: 4

в)

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду. В её основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а вершина проецируется в центр основания (точку пересечения медиан, биссектрис и высот). Боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Важно отметить, что в общем случае это не правильный тетраэдр (у которого все грани — равные равносторонние треугольники).

Аналогично предыдущему случаю, все плоскости симметрии должны проходить через вершину пирамиды и ось симметрии её основания.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Каждая ось проходит через вершину треугольника и середину противолежащей стороны (являясь одновременно медианой, высотой и биссектрисой).

Соответственно, правильная треугольная пирамида имеет три плоскости симметрии. Каждая из них проходит через вершину пирамиды, одну из вершин основания и середину противоположной стороны основания. Такая плоскость содержит одно боковое ребро и апофему противолежащей боковой грани.

Следовательно, у правильной треугольной пирамиды 3 плоскости симметрии. (Стоит отметить, что у правильного тетраэдра, являющегося частным случаем, их 6).

Ответ: 3