Номер 276, страница 84 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

276. Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?

а) Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре.
Параллелепипед имеет один центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его диагоналей. Все четыре пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Обозначим эту точку $O$.
Если взять любую вершину параллелепипеда, то симметричная ей точка относительно $O$ будет противоположной вершиной. Для любой точки на грани или ребре симметричная ей точка будет находиться на противоположной грани или ребре. Для любой внутренней точки симметричная ей точка также будет внутренней. Таким образом, вся фигура симметрична относительно точки $O$.
Можно доказать, что этот центр единственный. Предположим, что существует другой центр симметрии $O'$. Композиция двух центральных симметрий относительно точек $O$ и $O'$ является параллельным переносом на вектор $2\vec{O'O}$. Если фигура симметрична относительно $O$ и $O'$, она должна быть инвариантна и относительно этого переноса. Однако параллелепипед — ограниченная фигура и не может переходить в себя при нетривиальном параллельном переносе. Следовательно, вектор переноса должен быть нулевым, что означает $O'=O$.
Таким образом, у параллелепипеда ровно один центр симметрии.
Ответ: 1.

б) Правильная треугольная призма — это призма, в основаниях которой лежат два равных правильных треугольника, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям.
Попытаемся найти у нее центр симметрии. Если такая точка и существует, то она должна совпадать с геометрическим центром фигуры — серединой отрезка, соединяющего центры оснований. Назовем эту точку $O$.
Рассмотрим любую вершину $A$ одного из оснований. Чтобы точка $O$ была центром симметрии, симметричная точке $A$ относительно $O$ точка $A'$ также должна принадлежать призме.
В центрально-симметричном многограннике точка, симметричная вершине, также должна быть вершиной. Однако для правильной треугольной призмы это не выполняется. Точка, симметричная вершине одного основания относительно центра $O$, не совпадает ни с одной из вершин другого основания. Например, если расположить центр $O$ в начале координат, а основания в плоскостях $z=-h/2$ и $z=h/2$, то вершина нижнего основания может иметь координаты $A(r, 0, -h/2)$. Симметричная ей точка будет $A'(-r, 0, h/2)$, которая не является вершиной верхнего основания, так как его вершины имеют другие координаты.
Следовательно, правильная треугольная призма не имеет центра симметрии.
Ответ: 0.

в) Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой (ребра).
Проанализируем наличие центра симметрии. Если центр симметрии $O$ существует, он должен лежать на ребре двугранного угла. Если предположить, что $O$ находится вне ребра, то для любой точки $M$ на ребре симметричная ей точка $M'$ не будет лежать на ребре. Множество всех таких симметричных точек (прямая, параллельная ребру) должно было бы принадлежать фигуре, что невозможно для двугранного угла.
Итак, поместим ребро на ось $z$, а потенциальный центр симметрии $O$ — в начало координат $(0,0,0)$. Пусть одна полуплоскость лежит в плоскости $xz$ при $x \ge 0$. Любая точка $M$ на этой полуплоскости имеет координаты $(x_M, 0, z_M)$, где $x_M \ge 0$. Симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ имеет координаты $(-x_M, 0, -z_M)$.
Чтобы точка $M'$ принадлежала фигуре, она должна лежать на одной из двух полуплоскостей. На первой полуплоскости она лежать не может (кроме случая $x_M=0$, т.е. когда $M$ на ребре), так как ее координата $x$ неположительна. Чтобы $M'$ лежала на второй полуплоскости, та должна содержать эту точку.
Это условие выполняется только в одном частном случае: если угол между полуплоскостями $\alpha = \pi$ (развернутый угол), то есть когда две полуплоскости образуют единую плоскость. В этом случае точка $M'$ лежит в той же плоскости. Более того, для плоскости любая ее точка является центром симметрии. Таким образом, развернутый двугранный угол (плоскость) имеет бесконечно много центров симметрии.
Однако для любого неразвернутого двугранного угла ($0 < \alpha < \pi$), точка $M'$ не будет принадлежать второй полуплоскости. Следовательно, такой двугранный угол не имеет центра симметрии. В стандартном понимании термин "двугранный угол" подразумевает неразвернутый угол.
Ответ: 0 (для неразвернутого угла). Если угол развернутый ($\alpha=\pi$), то есть фигура является плоскостью, то центров симметрии бесконечно много.

г) Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (концами отрезка), включающая все точки между ними.
Отрезок имеет один центр симметрии. Этим центром является середина отрезка. Обозначим концы отрезка $A$ и $B$, а его середину — $O$.
Для любой точки $M$ на отрезке $AB$ симметричная ей точка $M'$ относительно $O$ также будет лежать на прямой $AB$, причем на том же расстоянии от $O$: $|OM'| = |OM|$. Так как $M$ принадлежит отрезку, расстояние от нее до центра не превышает половины длины отрезка ($|OM| \le |OA|$). Следовательно, $|OM'| \le |OA|$, что означает, что точка $M'$ также принадлежит отрезку $AB$. Таким образом, середина отрезка является его центром симметрии.
Единственность этого центра доказывается так же, как и для параллелепипеда: наличие второго центра симметрии привело бы к инвариантности фигуры относительно параллельного переноса, что невозможно для ограниченной фигуры, какой является отрезок.
Следовательно, отрезок имеет ровно один центр симметрии.
Ответ: 1.