Номер 269, страница 78 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

269. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная усеченная пирамида. Обозначим сторону нижнего основания как $a_1$, сторону верхнего основания как $a_2$, боковое ребро как $l$, апофему как $A$ и высоту как $h$.

По условию задачи:

• $a_1 = 4$ дм
• $a_2 = 2$ дм
• $l = 2$ дм

Нахождение апофемы

Апофема правильной усеченной пирамиды – это высота ее боковой грани. Боковая грань представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды ($a_1 = 4$ и $a_2 = 2$), а боковые стороны – боковому ребру пирамиды ($l = 2$).

Для нахождения высоты трапеции (апофемы $A$) опустим из вершины меньшего основания перпендикуляр на большее основание. В результате образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковое ребро $l$, одним катетом – апофема $A$, а вторым катетом – отрезок, равный полуразности оснований трапеции.

Найдем длину второго катета:

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ дм.

Применим теорему Пифагора:

$l^2 = A^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$2^2 = A^2 + 1^2$

$4 = A^2 + 1$

$A^2 = 3$

$A = \sqrt{3}$ дм.

Ответ: апофема пирамиды равна $\sqrt{3}$ дм.

Нахождение высоты

Высоту пирамиды $h$ можно найти, рассмотрев сечение, проходящее через апофему пирамиды и ее высоту. Это сечение образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является апофема пирамиды $A$, а катетами – высота пирамиды $h$ и разность радиусов окружностей, вписанных в основания ($r_1 - r_2$).

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Найдем радиусы для оснований пирамиды:

• Радиус вписанной окружности нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ дм.
• Радиус вписанной окружности верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ дм.

Найдем разность радиусов:

$r_1 - r_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ дм.

Теперь применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику:

$A^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$

$h^2 = A^2 - (r_1 - r_2)^2$

$h^2 = (\sqrt{3})^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}$

$h = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ дм.

Ответ: высота пирамиды равна $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ дм.