Номер 268, страница 78 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

268. Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усечённой пирамиды равна 4 дм, а площадь её полной поверхности равна 186 дм². Найдите высоту усечённой пирамиды.

Анализ условия и соотношения между элементами пирамиды

Пусть исходная пирамида – правильная четырехугольная. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от нее меньшую пирамиду, подобную исходной. Оставшаяся часть является усеченной пирамидой. Обозначим высоту исходной (большой) пирамиды как $H$, а высоту отсеченной (малой) пирамиды как $h_1$. Высота полученной усеченной пирамиды будет $h_{ус} = H - h_1$.

По условию, секущая плоскость делит высоту $H$ в отношении 1:2, считая от вершины. Это означает, что $h_1 : h_{ус} = 1 : 2$, откуда $h_{ус} = 2h_1$. Тогда полная высота исходной пирамиды $H = h_1 + h_{ус} = h_1 + 2h_1 = 3h_1$.

Коэффициент подобия малой отсеченной пирамиды к большой исходной пирамиде равен отношению их высот: $k = \frac{h_1}{H} = \frac{h_1}{3h_1} = \frac{1}{3}$.

Отношение соответствующих линейных размеров подобных фигур равно коэффициенту подобия. Пусть $a_1$ – сторона верхнего основания усеченной пирамиды (которое является основанием малой пирамиды), а $a_2$ – сторона нижнего основания усеченной пирамиды (которое является основанием большой пирамиды). Тогда $\frac{a_1}{a_2} = k = \frac{1}{3}$, или $a_2 = 3a_1$.

Расчет сторон оснований усеченной пирамиды

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $S_1$ (верхнего) и $S_2$ (нижнего):$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2$.

По условию $S_{полн} = 186$ дм?. Площади оснований, являющихся квадратами, равны $S_1 = a_1^2$ и $S_2 = a_2^2$.Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)l$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $l$ – апофема усеченной пирамиды.Периметры оснований: $P_1 = 4a_1$, $P_2 = 4a_2$.Подставив их в формулу боковой поверхности, получим: $S_{бок} = \frac{1}{2}(4a_1 + 4a_2)l = 2(a_1 + a_2)l$.

По условию, апофема $l=4$ дм. Объединим все в одну формулу для полной поверхности:$S_{полн} = 2(a_1 + a_2)l + a_1^2 + a_2^2$.Подставим известные значения и соотношение $a_2 = 3a_1$:$186 = 2(a_1 + 3a_1) \cdot 4 + a_1^2 + (3a_1)^2$$186 = 2(4a_1) \cdot 4 + a_1^2 + 9a_1^2$$186 = 32a_1 + 10a_1^2$

Получаем квадратное уравнение:$10a_1^2 + 32a_1 - 186 = 0$Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:$5a_1^2 + 16a_1 - 93 = 0$Решим уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-93) = 256 + 1860 = 2116$.$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.Найдем корни: $a_1 = \frac{-16 \pm 46}{2 \cdot 5} = \frac{-16 \pm 46}{10}$.Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:$a_1 = \frac{-16 + 46}{10} = \frac{30}{10} = 3$ дм.

Теперь находим сторону нижнего основания:$a_2 = 3a_1 = 3 \cdot 3 = 9$ дм.

Нахождение высоты усеченной пирамиды

Для нахождения высоты усеченной пирамиды $h$ рассмотрим сечение, проходящее через ее высоту и апофему боковой грани. Это сечение является прямоугольной трапецией. Основаниями этой трапеции служат отрезки, соединяющие центр основания с серединой его стороны, то есть радиусы вписанных в основания окружностей $r_1$ и $r_2$.$r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ дм.$r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ дм.

Высота усеченной пирамиды $h$ и разность радиусов $(r_2 - r_1)$ являются катетами прямоугольного треугольника, а апофема $l$ – его гипотенузой.По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2$.Подставляем известные значения:$4^2 = h^2 + (4.5 - 1.5)^2$$16 = h^2 + 3^2$$16 = h^2 + 9$$h^2 = 16 - 9 = 7$$h = \sqrt{7}$ дм.

Ответ: $\sqrt{7}$ дм.