Номер 261, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

261. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны.

Для доказательства того, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны, можно использовать два основных подхода: геометрический и векторный.

Доказательство

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $SABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Скрещивающимися рёбрами в такой пирамиде являются боковое ребро и не пересекающее его ребро основания, например, ребро $SA$ и ребро $BC$. Нам нужно доказать, что $SA \perp BC$.

1. Проведём в основании медиану $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ является равносторонним, медиана $AM$ также является высотой и биссектрисой. Следовательно, $AM \perp BC$.

2. Рассмотрим боковую грань $SBC$. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, то есть $SB = SC$. Это означает, что треугольник $SBC$ — равнобедренный. Проведём в нём медиану $SM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, $SM \perp BC$.

3. Итак, мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $SM$. Эти две прямые лежат в плоскости, проходящей через точки $A$, $S$ и $M$, то есть в плоскости $(SAM)$.

4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, $BC \perp (SAM)$.

5. Боковое ребро $SA$ полностью лежит в плоскости $(SAM)$, так как точки $S$ и $A$ принадлежат этой плоскости. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $SA \perp BC$.

В силу симметрии правильной пирамиды, аналогичное доказательство справедливо и для других пар скрещивающихся рёбер: $SB \perp AC$ и $SC \perp AB$. Таким образом, утверждение доказано.

Способ 2: Векторный

Воспользуемся векторным методом. Пусть вершина пирамиды $S$ является началом координат. Тогда рёбра $SA$, $SB$, $SC$ можно представить радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ соответственно.

1. Так как пирамида правильная, все её боковые рёбра равны по длине. В векторной записи это означает, что модули векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = l$.

2. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Это значит, что все его стороны равны. Длины векторов, представляющих стороны основания, равны: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = d$. Векторы сторон основания выражаются через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ как $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$, $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$.

3. Так как боковые грани $SAB$, $SBC$ и $SCA$ являются конгруэнтными (равными) равнобедренными треугольниками, то углы между соответствующими боковыми рёбрами равны. Следовательно, скалярные произведения векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ попарно равны: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$. Это можно также показать, расписав квадрат длины стороны основания: $d^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2 = l^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + l^2 = 2l^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}$. Отсюда $\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{2l^2 - d^2}{2}$. Так как $d$ и $l$ одинаковы для всех боковых граней, то и скалярные произведения одинаковы.

4. Докажем перпендикулярность скрещивающихся рёбер $SA$ и $BC$. Ребру $SA$ соответствует вектор $\vec{a}$, а ребру $BC$ — вектор $\vec{c} - \vec{b}$. Для доказательства перпендикулярности нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

5. Вычислим скалярное произведение: $\vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}$.

6. Из пункта 3 мы знаем, что $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$. Следовательно, их разность равна нулю: $\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы ортогональны, а значит, и соответствующие им рёбра $SA$ и $BC$ взаимно перпендикулярны. Аналогично доказывается перпендикулярность для остальных пар скрещивающихся рёбер.

Ответ: Утверждение доказано. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра (боковое ребро и противоположное ему ребро основания) взаимно перпендикулярны.