Номер 254, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

254. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды .

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где S — вершина, а ABC — равносторонний треугольник в основании со стороной a. SO = H — высота пирамиды, где O — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис).

Для решения задачи нам понадобятся некоторые размеры в основании. O — центр описанной и вписанной окружностей для треугольника ABC.

Радиус описанной окружности R (отрезок OA) для равностороннего треугольника со стороной a равен:$R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Радиус вписанной окружности r (длина перпендикуляра из O к стороне, например, OM, где M — середина BC) равен:$r = OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

а) боковое ребро пирамиды

Боковое ребро, обозначим его l (например, SA), является гипотенузой в прямоугольном треугольнике SOA. Катеты этого треугольника — высота пирамиды SO = H и радиус описанной окружности основания OA = R.

По теореме Пифагора:$l^2 = SA^2 = SO^2 + OA^2 = H^2 + R^2$

Подставим значение R:$l^2 = H^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = H^2 + \frac{a^2}{3}$

Отсюда длина бокового ребра:$l = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}$

Ответ: $l = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}$

б) плоский угол при вершине пирамиды

Плоский угол при вершине — это угол в боковой грани, например, угол ? = ?BSC. Боковая грань (например, треугольник SBC) — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами SB = SC = l и основанием BC = a.

Проведем в треугольнике SBC высоту (она же медиана и биссектриса) SM к основанию BC. M — середина BC, поэтому BM = a/2.

В прямоугольном треугольнике SMB угол ?BSM = ?/2. Из определения синуса:$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{BM}{SB} = \frac{a/2}{l} = \frac{a}{2l}$

Подставим найденное ранее выражение для l:$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a}{2\sqrt{H^2 + a^2/3}}$

Тогда искомый угол ?:$\alpha = 2\arcsin\left(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + a^2/3}}\right)$

Ответ: $\alpha = 2\arcsin\left(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + a^2/3}}\right)$

в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды

Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания ABC — это угол между ребром SA и его проекцией на плоскость основания, которой является отрезок OA. Обозначим этот угол ? = ?SAO.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA.$\tan(\beta) = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R} = \frac{H}{a/\sqrt{3}} = \frac{H\sqrt{3}}{a}$

Отсюда угол ?:$\beta = \arctan\left(\frac{H\sqrt{3}}{a}\right)$

Ответ: $\beta = \arctan\left(\frac{H\sqrt{3}}{a}\right)$

г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды

Угол между боковой гранью (например, SBC) и основанием ABC — это линейный угол двугранного угла при ребре BC.

Проведем апофему SM (M — середина BC). Так как SBC — равнобедренный треугольник, SM ? BC. В основании AM — медиана и высота, поэтому AM ? BC. Следовательно, искомый угол ? — это угол ?SMA. Так как точка O лежит на AM, это угол ?SMO.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM.$\tan(\gamma) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r} = \frac{H}{a/(2\sqrt{3})} = \frac{2H\sqrt{3}}{a}$

Отсюда угол ?:$\gamma = \arctan\left(\frac{2H\sqrt{3}}{a}\right)$

Ответ: $\gamma = \arctan\left(\frac{2H\sqrt{3}}{a}\right)$

д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды

Двугранный угол при боковом ребре (например, SA) — это угол ? между плоскостями боковых граней SAB и SAC.

Для нахождения этого угла построим его линейный угол. Проведем в грани SAB перпендикуляр BK к ребру SA. Так как боковые грани SAB и SAC равны, то перпендикуляр из точки C к ребру SA также придет в точку K, то есть CK ? SA.

Тогда искомый угол ? = ?BKC. Треугольник BKC — равнобедренный с основанием BC = a и равными сторонами BK = CK.

По теореме косинусов для треугольника BKC:$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(\delta) \implies a^2 = 2BK^2(1 - \cos\delta)$$\cos(\delta) = 1 - \frac{a^2}{2BK^2}$

Найдем длину BK. Площадь треугольника SAB можно выразить двумя способами:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} SA \cdot BK \implies a \cdot SM = l \cdot BK \implies BK = \frac{a \cdot SM}{l}$

Найдем квадраты длин SM и l.Из прямоугольного треугольника SOM: $SM^2 = SO^2 + OM^2 = H^2 + r^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = H^2 + \frac{a^2}{12}$.Длина бокового ребра: $l^2 = H^2 + \frac{a^2}{3}$.

Теперь найдем $BK^2$:$BK^2 = \frac{a^2 \cdot SM^2}{l^2} = \frac{a^2 \left(H^2 + \frac{a^2}{12}\right)}{H^2 + \frac{a^2}{3}} = \frac{a^2 \frac{12H^2 + a^2}{12}}{\frac{3H^2 + a^2}{3}} = \frac{a^2 (12H^2 + a^2)}{4(3H^2 + a^2)}$

Подставим BK? в формулу для косинуса угла ?:$\cos(\delta) = 1 - \frac{a^2}{2 \cdot \frac{a^2(12H^2+a^2)}{4(3H^2+a^2)}} = 1 - \frac{2(3H^2+a^2)}{12H^2+a^2}$

$\cos(\delta) = \frac{(12H^2+a^2) - (6H^2+2a^2)}{12H^2+a^2} = \frac{6H^2 - a^2}{12H^2 + a^2}$

Отсюда угол ?:$\delta = \arccos\left(\frac{6H^2 - a^2}{12H^2 + a^2}\right)$

Ответ: $\delta = \arccos\left(\frac{6H^2 - a^2}{12H^2 + a^2}\right)$