Номер 251, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые рёбра пирамиды равны друг другу, а её высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см

Пусть $DABC$ - данная пирамида, где $ABC$ - прямоугольный треугольник, являющийся основанием, а $D$ - вершина пирамиды. По условию, гипотенуза основания - это $BC$, а все боковые ребра равны, то есть $DA = DB = DC$. Высота пирамиды равна 12 см.

Существует свойство пирамиды: если все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Пусть $H$ - это основание высоты, опущенной из вершины $D$ на плоскость $ABC$. Тогда $DH$ - высота пирамиды, и $DH = 12$ см, а точка $H$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Для прямоугольного треугольника центр его описанной окружности всегда находится в середине гипотенузы. В нашем случае основание - это прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $BC$. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $BC$.

Радиус $R$ описанной окружности равен расстоянию от ее центра $H$ до вершин треугольника. Таким образом, $R = HA = HB = HC$. Поскольку $H$ - середина $BC$, радиус равен половине длины гипотенузы: $R = HC = \frac{1}{2} BC$

По условию дано, что $BC = 10$ см. Найдем радиус описанной окружности: $R = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$. В этом треугольнике:

• Катет $DH$ - это высота пирамиды, $DH = 12$ см.
• Катет $HC$ - это радиус описанной окружности, $HC = R = 5$ см.
• Гипотенуза $DC$ - это боковое ребро пирамиды, длину которого нам нужно найти.

По теореме Пифагора для треугольника $DHC$: $DC^2 = DH^2 + HC^2$

Подставим известные значения и вычислим: $DC^2 = 12^2 + 5^2$ $DC^2 = 144 + 25$ $DC^2 = 169$ $DC = \sqrt{169}$ $DC = 13$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, то длина каждого из них, включая искомое, составляет 13 см.

Ответ: 13 см.