Номер 247, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

247. Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.

а) Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — основание её высоты $SO$. Основанием пирамиды является многоугольник $A_1A_2\dots A_n$. Двугранный угол при ребре основания $A_iA_{i+1}$ — это угол между плоскостью боковой грани $SA_iA_{i+1}$ и плоскостью основания. Для его измерения построим линейный угол. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH_i$ к ребру $A_iA_{i+1}$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $SH_i$ также будет перпендикулярна ребру $A_iA_{i+1}$. Таким образом, $SH_i$ — это высота боковой грани, а угол $\angle SHO_i$ — линейный угол соответствующего двугранного угла.

По условию задачи, все двугранные углы при основании равны. Обозначим их величину через $\phi$. Это означает, что все линейные углы также равны: $\angle SHO_1 = \angle SHO_2 = \dots = \angle SHO_n = \phi$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$. Все они имеют общий катет — высоту пирамиды $SO$. Так как эти треугольники прямоугольные, имеют общий катет $SO$ и равные острые углы $\angle SHO_i = \phi$, то они равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $OH_1 = OH_2 = \dots = OH_n$. Отрезки $OH_i$ представляют собой расстояния от точки $O$ до сторон основания пирамиды. Так как точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника в основании, она является центром вписанной в него окружности.

Следовательно, основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

Ответ: Доказано, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

б) Высотами боковых граней, проведёнными из вершины пирамиды, являются отрезки $SH_1, SH_2, \dots, SH_n$, которые также являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$.

Как было доказано в пункте а), все эти треугольники равны ($\triangle SOH_1 \cong \triangle SOH_2 \cong \dots \cong \triangle SOH_n$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их гипотенузы:

$SH_1 = SH_2 = \dots = SH_n$.

Таким образом, высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны между собой.

Ответ: Доказано, что высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны.

в) Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей всех её боковых граней:

$S_{бок} = S_{\triangle SA_1A_2} + S_{\triangle SA_2A_3} + \dots + S_{\triangle SA_nA_1}$

Площадь каждой боковой грани $\triangle SA_iA_{i+1}$ вычисляется по формуле площади треугольника: $S_{\triangle SA_iA_{i+1}} = \frac{1}{2} \cdot A_iA_{i+1} \cdot SH_i$, где $A_iA_{i+1}$ — сторона основания, а $SH_i$ — высота боковой грани, проведённая к этой стороне.

Из пункта б) мы знаем, что высоты всех боковых граней равны. Обозначим их общую длину через $l$, то есть $SH_1 = SH_2 = \dots = SH_n = l$.

Тогда площадь боковой поверхности можно записать как:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot A_1A_2 \cdot l + \frac{1}{2} \cdot A_2A_3 \cdot l + \dots + \frac{1}{2} \cdot A_nA_1 \cdot l$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}l$ за скобки:

$S_{бок} = \frac{1}{2}l (A_1A_2 + A_2A_3 + \dots + A_nA_1)$

Сумма в скобках представляет собой периметр основания пирамиды $P_{осн} = A_1A_2 + A_2A_3 + \dots + A_nA_1$.

Подставив это в формулу, получаем:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$

Это и доказывает, что площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (которую также называют апофемой).

Ответ: Доказано, что площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.