Номер 250, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые рёбра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, где ABC – равнобедренный треугольник в основании, а S – вершина пирамиды. SO – высота пирамиды, где O – точка в плоскости основания. По условию, высота пирамиды $H = SO = 16$ см.

Боковые рёбра SA, SB и SC образуют с высотой SO равные углы в 45°. Это означает, что $\angle ASO = \angle BSO = \angle CSO = 45°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta SOA$, $\Delta SOB$ и $\Delta SOC$. В этих треугольниках угол при вершине O прямой, так как SO – перпендикуляр к плоскости основания. Катет SO является общим для всех трёх треугольников.

Поскольку в каждом из этих прямоугольных треугольников один из острых углов равен 45°, то и второй острый угол равен $90° - 45° = 45°$. Следовательно, треугольники $\Delta SOA$, $\Delta SOB$ и $\Delta SOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Из этого следует, что катеты OA, OB и OC равны катету SO: $OA = OB = OC = SO = 16$ см.

Так как точка O равноудалена от всех вершин треугольника ABC, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра до вершин, то есть $R = 16$ см.

Теперь рассмотрим основание пирамиды – равнобедренный треугольник ABC. По условию, один из его углов равен 120°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был равен 120°, то сумма двух таких углов уже составила бы 240°, что невозможно. Следовательно, 120° – это угол при вершине, противолежащей основанию. Пусть $\angle B = 120°$, тогда боковые стороны $AB = BC$.

Углы при основании AC равны: $\angle A = \angle C = (180° - 120°) / 2 = 30°$.

Для нахождения площади основания $S_{ABC}$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. В нашем случае $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$. Сначала найдём длины сторон AB и BC, используя теорему синусов для треугольника ABC: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Найдём сторону AB (которая в наших обозначениях является стороной $c$): $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R$ $AB = 2R \cdot \sin(\angle C) = 2 \cdot 16 \cdot \sin(30°) = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то $BC = AB = 16$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \sin(120°)$

Используя то, что $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 128 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 64\sqrt{3}$ см².

Ответ: Площадь основания пирамиды равна $64\sqrt{3}$ см².