Номер 253, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

253. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 46 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите её высоту.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания (трапеции). Пусть $H$ — высота пирамиды, $L$ — длина бокового ребра, а $R$ — радиус описанной около основания окружности. Они связаны соотношением по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, боковым ребром (как гипотенузой) и радиусом описанной окружности (как катетом):

$L^2 = H^2 + R^2$

Из условия задачи известно, что $L = 13$ см. Чтобы найти высоту пирамиды $H$, нам необходимо сначала вычислить радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренной трапеции.

Пусть основание пирамиды — это равнобедренная трапеция $ABCD$, где основания $AD = 4\sqrt{6}$ см и $BC = 6$ см, а высота трапеции $h_{тр} = 5$ см. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около любого треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, $\triangle ABD$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности треугольника $ABD$ воспользуемся формулой $R = \frac{s_1 s_2 s_3}{4 S_{\triangle}}$, где $s_1, s_2, s_3$ — длины сторон треугольника, а $S_{\triangle}$ — его площадь.

1. Найдем стороны треугольника $ABD$:

- Сторона $AD = 4\sqrt{6}$ см (дано).

- Найдем диагональ трапеции $BD$. Проведем из вершины $B$ высоту $BK$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $KD$ можно найти как $KD = AD - AK$. Отрезок $AK$ равен полуразности оснований: $AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{4\sqrt{6} - 6}{2} = 2\sqrt{6} - 3$ см. Тогда $KD = AD - AK = 4\sqrt{6} - (2\sqrt{6} - 3) = 2\sqrt{6} + 3$ см.

- Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKD$. По теореме Пифагора $BD^2 = BK^2 + KD^2$. $d^2 = BD^2 = 5^2 + (2\sqrt{6} + 3)^2 = 25 + \left((2\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot 3 + 3^2\right) = 25 + (24 + 12\sqrt{6} + 9) = 58 + 12\sqrt{6}$.

- Найдем боковую сторону трапеции $AB$. Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора $AB^2 = AK^2 + BK^2$. $c^2 = AB^2 = (2\sqrt{6} - 3)^2 + 5^2 = \left((2\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot 3 + 3^2\right) + 25 = (24 - 12\sqrt{6} + 9) + 25 = 58 - 12\sqrt{6}$.

Итак, стороны треугольника $ABD$: $AD = 4\sqrt{6}$, $AB = \sqrt{58 - 12\sqrt{6}}$, $BD = \sqrt{58 + 12\sqrt{6}}$.

2. Найдем площадь треугольника $ABD$:

Площадь $S_{ABD}$ можно вычислить как половину произведения основания $AD$ на высоту трапеции $h_{тр}$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{6} \cdot 5 = 10\sqrt{6}$ см$^2$.

3. Вычислим радиус $R$ описанной окружности:

$R = \frac{AD \cdot AB \cdot BD}{4 S_{ABD}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{58 - 12\sqrt{6}} \cdot \sqrt{58 + 12\sqrt{6}}}{4 \cdot 10\sqrt{6}}$

Упростим произведение корней в числителе, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$\sqrt{58 - 12\sqrt{6}} \cdot \sqrt{58 + 12\sqrt{6}} = \sqrt{(58 - 12\sqrt{6})(58 + 12\sqrt{6})} = \sqrt{58^2 - (12\sqrt{6})^2}$

$\sqrt{3364 - (144 \cdot 6)} = \sqrt{3364 - 864} = \sqrt{2500} = 50$ см.

Подставим это значение в формулу для радиуса:

$R = \frac{4\sqrt{6} \cdot 50}{40\sqrt{6}} = \frac{200\sqrt{6}}{40\sqrt{6}} = \frac{200}{40} = 5$ см.

4. Найдем высоту пирамиды $H$:

Теперь мы можем найти высоту пирамиды из соотношения $L^2 = H^2 + R^2$.

$H^2 = L^2 - R^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.