Номер 257, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

257. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем элементы пирамиды через высоту h.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – равносторонний треугольник в основании, а S – вершина. SO – высота пирамиды, $SO = h$.

Двугранный угол при стороне основания – это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Проведем апофему SM (высоту боковой грани SBC), где M – середина стороны BC. Тогда OM – проекция SM на плоскость основания. Так как пирамида правильная, OM является радиусом вписанной в основание окружности и $OM \perp BC$.

Линейным углом двугранного угла при ребре BC является угол $\angle SMO$. По условию, $\angle SMO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$).

Поскольку один из острых углов равен $45^\circ$, то $\triangle SOM$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно, его катеты равны: $OM = SO = h$.

OM – это радиус вписанной в равносторонний треугольник ABC окружности. Пусть сторона основания равна $a$. Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Так как $OM = r = h$, получаем: $h = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Отсюда выразим сторону основания $a$: $a = 2\sqrt{3}h$.

Теперь найдем апофему SM, которая является гипотенузой в $\triangle SOM$. По теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$

Апофема $SM = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2}$.

2. Вычислим площадь основания.

Основанием является равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3}h$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3}h)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot h^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12h^2\sqrt{3}}{4} = 3h^2\sqrt{3}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему.

Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}h = 6\sqrt{3}h$.

Апофема $SM = h\sqrt{2}$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3}h \cdot h\sqrt{2} = 3h^2\sqrt{3 \cdot 2} = 3h^2\sqrt{6}$.

4. Вычислим полную площадь поверхности.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 3h^2\sqrt{3} + 3h^2\sqrt{6}$.

Вынесем общий множитель за скобки для более компактной записи:

$S_{полн} = 3h^2\sqrt{3}(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $3h^2\sqrt{3}(1 + \sqrt{2})$.