Номер 252, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

252. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором стороны AB и АС равны, ВС = 6 см, высота АН равна 9 см. Известно также, что DA = DB = DC = 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Пусть H_p — высота пирамиды DABC, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC. Обозначим основание высоты буквой O.

По условию задачи все боковые ребра пирамиды равны: $DA = DB = DC = 13$ см. Это означает, что вершина D равноудалена от всех вершин основания. Свойство таких пирамид заключается в том, что основание высоты (точка O) совпадает с центром окружности, описанной около треугольника-основания.

Таким образом, точка O — это центр описанной окружности треугольника ABC, а отрезки OA, OB, OC являются радиусами (R) этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOA (угол DOA прямой, так как DO — высота). По теореме Пифагора: $DA^2 = DO^2 + OA^2$. Отсюда высоту пирамиды DO можно выразить как $DO = \sqrt{DA^2 - OA^2}$.

Для вычисления высоты нам необходимо найти радиус R = OA описанной окружности. Радиус описанной окружности для произвольного треугольника можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.

Найдем необходимые параметры для треугольника ABC. Нам дано: основание $BC = 6$ см и высота $AH = 9$ см, проведенная к этому основанию.

1. Найдем площадь треугольника ABC (S):
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см?.

2. Найдем длины боковых сторон AB и AC:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка H делит сторону BC пополам: $BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AC: $AC^2 = AH^2 + HC^2 = 9^2 + 3^2 = 81 + 9 = 90$.
$AC = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.
Так как треугольник равнобедренный, $AB = AC = 3\sqrt{10}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности R:
Стороны треугольника равны $a=6$, $b=3\sqrt{10}$, $c=3\sqrt{10}$. Площадь $S=27$.
Подставим эти значения в формулу радиуса: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10}}{4 \cdot 27} = \frac{6 \cdot 9 \cdot (\sqrt{10})^2}{108} = \frac{54 \cdot 10}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

4. Найдем высоту пирамиды DO:
Теперь, когда мы знаем радиус $OA = R = 5$ см и длину бокового ребра $DA = 13$ см, мы можем найти высоту пирамиды из прямоугольного треугольника DOA.
$DO^2 = DA^2 - OA^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
$DO = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.