Номер 246, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание. б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

а)

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $\triangle ABC$ — основание. Пусть $SO$ — высота пирамиды, опущенная на плоскость основания, тогда $O$ — основание высоты. По условию, $SO = 40$ см.

Высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой. Проведём апофемы $SK$, $SL$ и $SM$ к сторонам основания $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По определению высоты грани, $SK \perp AB$, $SL \perp BC$ и $SM \perp AC$. По условию, длины всех апофем равны: $SK = SL = SM = 41$ см.

Рассмотрим отрезки $OK$, $OL$ и $OM$. Они являются проекциями наклонных $SK$, $SL$ и $SM$ на плоскость основания $ABC$.

Поскольку $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания ($SO \perp (ABC)$). Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($SK$) перпендикулярна некоторой прямой ($AB$), лежащей в плоскости, то и её проекция ($OK$) на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Таким образом, мы получаем: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AC$.

Это означает, что длины отрезков $OK$, $OL$ и $OM$ — это расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOK$, $\triangle SOL$ и $\triangle SOM$. Они прямоугольные, так как $SO \perp (ABC)$, а значит $SO$ перпендикулярен любому отрезку в этой плоскости, в том числе $OK$, $OL$ и $OM$. В этих треугольниках: 1) катет $SO$ — общий; 2) гипотенузы $SK$, $SL$, $SM$ равны по условию. Следовательно, треугольники $\triangle SOK$, $\triangle SOL$ и $\triangle SOM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $OK = OL = OM$. Так как точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника основания $ABC$, она является центром вписанной в этот треугольник окружности. Таким образом, доказано, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

Ответ: Доказано.

б)

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, связывающей его полупериметр и радиус вписанной окружности: $S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Из пункта а) мы знаем, что радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от основания высоты $O$ до сторон треугольника, то есть $r = OK$.

Найдём длину $OK$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$. Нам известны длина гипотенузы $SK = 41$ см и катета $SO = 40$ см. По теореме Пифагора: $SK^2 = SO^2 + OK^2$

Выразим $OK^2$: $OK^2 = SK^2 - SO^2 = 41^2 - 40^2$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $OK^2 = (41 - 40)(41 + 40) = 1 \cdot 81 = 81$ $OK = \sqrt{81} = 9$ см. Следовательно, радиус вписанной окружности $r = 9$ см.

По условию, периметр основания $P = 42$ см. Найдём полупериметр $p$: $p = \frac{P}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь основания: $S_{осн} = p \cdot r = 21 \cdot 9 = 189$ см?.

Ответ: 189 см?.