Номер 242, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

242. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида `SABCD`, где `ABCD` – квадратное основание, а боковое ребро `SA` перпендикулярно плоскости основания `(ABC)`. Тогда `SA` является высотой пирамиды. Обозначим высоту `H = SA`, а сторону основания `AB = a`.

Поскольку ребро `SA` перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в частности `SA ? AB` и `SA ? AD`. Это означает, что боковые грани `SAB` и `SAD` являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине `A`.

В условии сказано, что плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Высотой является ребро `SA`, значит, речь идет о гранях `SBC` или `SDC`.

Рассмотрим угол наклона грани `SBC` к плоскости основания `(ABC)`. Этот угол является двугранным углом при ребре `BC`. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости основания `(ABC)` проведем перпендикуляр к `BC` – это ребро квадрата `AB` (`AB ? BC`). В плоскости грани `(SBC)` нужно провести перпендикуляр к `BC`. Так как `SA ? (ABC)`, то `SA ? BC`. Кроме того, `AB ? BC`. Поскольку прямая `BC` перпендикулярна двум пересекающимся прямым `SA` и `AB` плоскости `(SAB)`, то `BC` перпендикулярна всей плоскости `(SAB)`. Следовательно, `BC ? SB`. Таким образом, `?SBA` является линейным углом двугранного угла между гранью `SBC` и основанием. По условию, `?SBA = 45°`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `?SAB` ( `?SAB = 90°` ). Мы знаем, что `?SBA = 45°`. Следовательно, `?SAB` – равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны: `SA = AB`. Так как `SA` – это высота `H`, а `AB` – сторона основания `a`, получаем `H = a`.

Теперь найдем длины всех боковых рёбер, выразив их через `a`. Длина ребра `SA = a`. В прямоугольном `?SAB` по теореме Пифагора: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $SB = a\sqrt{2}$. Аналогично, в `?SAD` $SD = a\sqrt{2}$. Для нахождения ребра `SC` рассмотрим прямоугольный `?SAC` ( `SA ? AC`, так как `SA` - высота). Диагональ квадрата основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Тогда по теореме Пифагора для `?SAC`: $SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$, откуда $SC = a\sqrt{3}$.

Сравнивая длины боковых рёбер $a$, $a\sqrt{2}$ и $a\sqrt{3}$, заключаем, что наибольшее боковое ребро – это `SC`. По условию его длина равна 12 см. $SC = a\sqrt{3} = 12$. Из этого уравнения находим сторону основания `a`: $a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Высота пирамиды `H` равна `SA`. Ранее мы установили, что `H = SA = a`. Поскольку $a = 4\sqrt{3}$ см, то и высота $H = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности `S_бок` равна сумме площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$.

Площади граней `SAB` и `SAD` – это площади равных прямоугольных треугольников с катетами `a` и `a`: $S_{SAB} = S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Площади граней `SBC` и `SDC` – это площади равных прямоугольных треугольников (`?SBC = ?SDC = 90°`) с катетами `a` и $a\sqrt{2}$: $S_{SBC} = S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} a \cdot (a\sqrt{2}) = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Общая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \cdot S_{SAB} + 2 \cdot S_{SBC} = 2 \cdot (\frac{1}{2}a^2) + 2 \cdot (\frac{a^2\sqrt{2}}{2})$ $S_{бок} = a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(1 + \sqrt{2})$.

Теперь подставим найденное значение `a`: $a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см?. $S_{бок} = 48(1 + \sqrt{2})$ см?.

Ответ: $48(1 + \sqrt{2})$ см?.