Номер 235, страница 72 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

235. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол θ с плоскостью основания. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть острый угол $\angle BAC = \phi$. Катет, противолежащий этому углу, — это $BC$. Сечение проходит через катет $BC$ и вершину $A_1$ верхнего основания, которая соответствует вершине $A$ нижнего основания. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $A_1BC$.

Угол $\theta$ между плоскостью сечения ($A_1BC$) и плоскостью основания ($ABC$) — это двугранный угол вдоль их линии пересечения $BC$. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла проведем перпендикуляры к $BC$ в каждой из плоскостей.

В плоскости основания, так как $\triangle ABC$ прямоугольный, $AC \perp BC$.
Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, следовательно, грань $ACC_1A_1$ перпендикулярна основанию $ABC$. Так как $BC$ лежит в основании и $BC \perp AC$, то $BC$ перпендикулярна всей плоскости грани $ACC_1A_1$. Отсюда следует, что $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $A_1C$.

Таким образом, $\angle A_1CA$ является линейным углом двугранного угла, и $\angle A_1CA = \theta$.

Введем обозначения. Пусть катет $AC = b$. Высота призмы равна $H = AA_1 = CC_1$.Из прямоугольного треугольника $A_1CA$ (угол $C$ прямой, так как призма прямая) имеем:$ \tan \theta = \frac{CC_1}{AC} = \frac{H}{b} \implies H = b \tan \theta $

Теперь выразим стороны основания $\triangle ABC$ через $b$ и угол $\phi$:

• $AC = b$
• $BC = AC \tan \phi = b \tan \phi$
• $AB = \frac{AC}{\cos \phi} = \frac{b}{\cos \phi}$

Найдем площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$. Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $H$.$P_{осн} = AC + BC + AB = b + b \tan \phi + \frac{b}{\cos \phi} = b(1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi} + \frac{1}{\cos \phi}) = b \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi}$$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = \left( b \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi} \right) \cdot (b \tan \theta) = b^2 \tan \theta \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi}$

Найдем площадь сечения $S_{сеч}$. Сечение — это треугольник $A_1BC$. Как мы показали, $A_1C \perp BC$, значит, $\triangle A_1BC$ — прямоугольный.Его площадь равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} BC \cdot A_1C$.Сторону $BC$ мы уже нашли: $BC = b \tan \phi$.Сторону $A_1C$ найдем из прямоугольного $\triangle A_1CA$: $A_1C = \frac{AC}{\cos \theta} = \frac{b}{\cos \theta}$.Следовательно, площадь сечения:$S_{сеч} = \frac{1}{2} (b \tan \phi) \left( \frac{b}{\cos \theta} \right) = \frac{b^2 \tan \phi}{2 \cos \theta}$

Теперь найдем искомое отношение площади боковой поверхности к площади сечения:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{b^2 \tan \theta \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi}}{\frac{b^2 \tan \phi}{2 \cos \theta}} $Сократив $b^2$, получим:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \tan \theta \cos \theta (1 + \sin \phi + \cos \phi)}{\tan \phi \cos \phi} $Используя тождества $\tan x \cos x = \sin x$, упрощаем выражение:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \phi + \cos \phi)}{\sin \phi} $

Это выражение можно упростить далее, используя формулы половинного угла.$1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
$\sin \phi = 2 \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2})$
Тогда $1 + \sin \phi + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2}) + 2 \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2}) = 2 \cos(\frac{\phi}{2}) (\cos(\frac{\phi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}))$Подставим это в наше отношение:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \sin \theta \left[ 2 \cos(\frac{\phi}{2}) (\cos(\frac{\phi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2})) \right]}{2 \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2})} $Сократив $2 \cos(\frac{\phi}{2})$, получаем:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \sin \theta (\cos(\frac{\phi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}))}{\sin(\frac{\phi}{2})} = 2 \sin \theta \left( \frac{\cos(\frac{\phi}{2})}{\sin(\frac{\phi}{2})} + 1 \right) = 2 \sin \theta (\cot(\frac{\phi}{2}) + 1) $

Ответ: $ \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \phi + \cos \phi)}{\sin \phi} $ или в более простом виде $ 2 \sin \theta (1 + \cot(\frac{\phi}{2})) $.