Номер 234, страница 72 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.

Пусть дана прямая призма, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты равны $BC = a = 20$ см и $AC = b = 21$ см. Боковое ребро, равное высоте призмы, составляет $h = 42$ см.

1. Нахождение параметров основания
Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора: $c = AB = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ см.

2. Анализ сечения
По условию, секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину гипотенузы $AB$, обозначим эту точку $M$, и перпендикулярна гипотенузе $AB$. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Следовательно, боковые ребра перпендикулярны и гипотенузе $AB$, лежащей в этой плоскости. Поскольку и секущая плоскость $\alpha$, и боковые ребра перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, то плоскость $\alpha$ параллельна боковым ребрам призмы. Это означает, что сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте призмы $h$, а другая — длине отрезка, который плоскость $\alpha$ высекает в треугольнике-основании $ABC$.

3. Нахождение ширины сечения
Ширина сечения — это длина отрезка, являющегося пересечением плоскости $\alpha$ и треугольника $ABC$. Этот отрезок лежит на прямой, проходящей через точку $M$ перпендикулярно $AB$. Определим, какие стороны треугольника $ABC$ пересекает эта прямая. Пусть прямая пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Рассмотрим треугольник $AKM$. Он является прямоугольным, так как по построению $KM \perp AB$ (а значит и $KM \perp AM$). Угол $\angle A$ является общим для треугольников $ABC$ и $AKM$. Из треугольника $ABC$ найдем тангенс угла $A$: $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b} = \frac{20}{21}$.

В прямоугольном треугольнике $AKM$ (с прямым углом при $M$) сторона $KM$ равна: $KM = AM \cdot \tan A$. Точка $M$ – середина гипотенузы $AB$, поэтому $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{29}{2}$ см. Длина отрезка $KM$ составляет: $KM = \frac{29}{2} \cdot \frac{20}{21} = \frac{29 \cdot 10}{21} = \frac{290}{21}$ см.

Чтобы убедиться, что отрезок-основание сечения — это именно $KM$, нужно проверить, что точка $K$ лежит на катете $AC$, а пересечение с продолжением катета $BC$ лежит вне треугольника. Длина отрезка $AK$ в треугольнике $AKM$ равна $AK = \frac{AM}{\cos A}$. Из $\triangle ABC$, $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{21}{29}$. Тогда $AK = \frac{29/2}{21/29} = \frac{841}{42} \approx 20.02$ см. Поскольку $AK < AC$ ($20.02 < 21$), точка $K$ лежит на катете $AC$. Аналогичный расчет для стороны $BC$ показал бы, что точка пересечения лежит вне катета. Таким образом, основанием сечения является отрезок $KM$.

4. Вычисление площади сечения
Сечение является прямоугольником со сторонами, равными длине отрезка $KM$ и высоте призмы $h$. Площадь сечения $S$ равна: $S = KM \cdot h = \frac{290}{21} \cdot 42 = 290 \cdot \frac{42}{21} = 290 \cdot 2 = 580$ см$^2$.

Ответ: $580 \text{ см}^2$.