Номер 231, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

231. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений¹ равна 130 см². Найдите площадь поверхности параллелепипеда .

Пусть дан прямой параллелепипед. Основанием является параллелограмм со сторонами $a = 8$ см и $b = 15$ см, и углом между ними $\alpha = 60^\circ$. Высоту параллелепипеда обозначим как $h$.

Диагональные сечения прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Их стороны — это диагональ основания и высота параллелепипеда $h$. Площадь такого сечения равна произведению диагонали основания на высоту. У параллелограмма в основании две разные диагонали, $d_1$ и $d_2$. Следовательно, есть два диагональных сечения с площадями $S_1 = d_1 \cdot h$ и $S_2 = d_2 \cdot h$. Меньшая из площадей диагональных сечений соответствует меньшей диагонали основания.

Сначала найдем диагонали параллелограмма в основании, используя теорему косинусов. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $\alpha = 60^\circ$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
$d_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 225 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 289 - 120 = 169$
$d_1 = \sqrt{169} = 13$ см.

Большая диагональ $d_2$ лежит напротив тупого угла $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot (-\frac{1}{2}) = 289 + 120 = 409$
$d_2 = \sqrt{409}$ см.

Итак, меньшая диагональ основания равна $d_1 = 13$ см. По условию, площадь меньшего диагонального сечения равна 130 см$^2$. Из этой информации мы можем найти высоту параллелепипеда $h$:
$S_{min\_sec} = d_1 \cdot h$
$130 = 13 \cdot h$
$h = \frac{130}{13} = 10$ см.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности параллелепипеда. Она вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Площадь основания (параллелограмма) равна:
$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ) = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда — это произведение периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{осн}$ равен:
$P_{осн} = 2(a + b) = 2(8 + 15) = 2 \cdot 23 = 46$ см.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 46 \cdot 10 = 460$ см$^2$.

Наконец, вычисляем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 60\sqrt{3} + 460 = 120\sqrt{3} + 460$ см$^2$.

Ответ: $460 + 120\sqrt{3}$ см$^2$.