Номер 232, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

232. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из боковых граней — угол α. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Диагональ параллелепипеда равна $d$.

1. Найдем высоту параллелепипеда $c$.
Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $d$ на плоскость основания является диагональ основания $d_{осн}$. Вместе с высотой $c$ они образуют прямоугольный треугольник, в котором $d$ — гипотенуза, а $c$ и $d_{осн}$ — катеты. Угол между $d$ и $d_{осн}$ по условию равен $\varphi$.
Из этого прямоугольного треугольника имеем:
$\sin\varphi = \frac{c}{d}$
Отсюда высота $c$:
$c = d \sin\varphi$

2. Найдем одну из сторон основания, например $b$.
Угол между диагональю $d$ и одной из боковых граней (пусть это будет грань со сторонами $a$ и $c$) — это угол между самой диагональю и ее проекцией на плоскость этой грани. Расстояние от конца диагонали до этой грани равно стороне $b$. Таким образом, диагональ $d$, ее проекция на боковую грань и отрезок, равный стороне $b$, образуют другой прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ — гипотенуза, а $b$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.
Из этого прямоугольного треугольника имеем:
$\sin\alpha = \frac{b}{d}$
Отсюда сторона $b$:
$b = d \sin\alpha$

3. Найдем вторую сторону основания $a$.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Выразим $a^2$:
$a^2 = d^2 - b^2 - c^2$
Подставим найденные выражения для $b$ и $c$:
$a^2 = d^2 - (d \sin\alpha)^2 - (d \sin\varphi)^2 = d^2 - d^2\sin^2\alpha - d^2\sin^2\varphi$
$a^2 = d^2(1 - \sin^2\alpha - \sin^2\varphi)$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:
$a^2 = d^2(\cos^2\alpha - \sin^2\varphi)$
Отсюда сторона $a$:
$a = d\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi}$

4. Найдем площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b)c$
Подставим выражения для $a, b$ и $c$:
$S_{бок} = 2(d\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi} + d \sin\alpha) \cdot (d \sin\varphi)$
Вынесем $d$ из скобок:
$S_{бок} = 2d(\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi} + \sin\alpha) \cdot d \sin\varphi$
$S_{бок} = 2d^2 \sin\varphi (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi})$

Ответ: $2d^2 \sin\varphi (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi})$.