Номер 227, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

227. Основание призмы — правильный треугольник ABC. Боковое ребро АА₁ образует равные углы со сторонами основания АС и AB. Докажите, что: a) BC ⊥ AA₁; б) CC₁B₁B — прямоугольник.

а) Докажите, что: BC ? AA?

Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании призмы. По условию, это правильный треугольник, следовательно, его стороны равны: $AB = AC$.

По условию, боковое ребро $AA_1$ образует равные углы со сторонами основания $AC$ и $AB$. Поскольку прямые $AA_1$, $AB$ и $AC$ пересекаются в одной точке $A$, то углы между этими прямыми — это углы $\angle A_1AB$ и $\angle A_1AC$. Таким образом, $\angle A_1AB = \angle A_1AC$.

Рассмотрим пространственные треугольники $\triangle A_1AB$ и $\triangle A_1AC$. В них:

• Сторона $AB$ равна стороне $AC$ (так как $\triangle ABC$ — правильный).
• Сторона $AA_1$ — общая.
• Угол $\angle A_1AB$ равен углу $\angle A_1AC$ (по условию).

Следовательно, $\triangle A_1AB \cong \triangle A_1AC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $A_1B = A_1C$.

Теперь спроецируем вершину $A_1$ на плоскость основания $(ABC)$. Пусть $H$ — это проекция точки $A_1$ на плоскость $(ABC)$. Тогда отрезок $A_1H$ является перпендикуляром к этой плоскости, то есть $A_1H \perp (ABC)$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle A_1HB$ и $\triangle A_1HC$. Углы $\angle A_1HB$ и $\angle A_1HC$ являются прямыми, так как $A_1H$ перпендикулярен любой прямой в плоскости основания. В этих треугольниках:

• $A_1H$ — общий катет.
• $A_1B = A_1C$ — гипотенузы, как было доказано ранее.

Следовательно, $\triangle A_1HB \cong \triangle A_1HC$ по гипотенузе и катету. Из этого следует равенство катетов $HB = HC$.

Равенство $HB = HC$ означает, что точка $H$ в плоскости $(ABC)$ равноудалена от вершин $B$ и $C$. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

В правильном треугольнике $ABC$ серединный перпендикуляр к стороне $BC$ является одновременно высотой, медианой и биссектрисой, проведенной из вершины $A$. Это означает, что точка $H$ лежит на высоте треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$. Пусть $AM$ — высота к стороне $BC$. Тогда $H$ лежит на прямой $AM$.

По определению высоты, $AM \perp BC$. Так как точка $H$ лежит на $AM$, то и прямая $AH$ перпендикулярна $BC$.

Таким образом, мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $(A_1AH)$:

1. $BC \perp A_1H$ (поскольку $A_1H$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $BC$ лежит в этой плоскости).
2. $BC \perp AH$ (поскольку $AH$ совпадает с высотой $AM$).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $BC \perp (A_1AH)$.

Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $(A_1AH)$ (так как точки $A$, $A_1$ и $H$ определяют эту плоскость). Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $BC \perp AA_1$.

Ответ: Доказано, что $BC \perp AA_1$.

б) Докажите, что: CC?B?B — прямоугольник

Боковая грань $CC_1B_1B$ является по определению призмы параллелограммом, так как у призмы противоположные ребра боковой грани параллельны ($CC_1 \parallel BB_1$) и равны.

Чтобы доказать, что этот параллелограмм является прямоугольником, достаточно показать, что один из его внутренних углов равен $90^\circ$. Рассмотрим угол $\angle BCC_1$.

В призме все боковые ребра параллельны друг другу. Значит, $CC_1 \parallel AA_1$.

В пункте а) было доказано, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AA_1$ ($BC \perp AA_1$).

Воспользуемся теоремой стереометрии: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Так как $BC \perp AA_1$ и $AA_1 \parallel CC_1$, то из этого следует, что $BC \perp CC_1$.

Это означает, что угол $\angle BCC_1$ в параллелограмме $CC_1B_1B$ является прямым.

Параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником. Следовательно, грань $CC_1B_1B$ — прямоугольник.

Ответ: Доказано, что $CC_1B_1B$ — прямоугольник.