Номер 225, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 1. Понятие многогранника. Призма. Глава 3. Многогранники - номер 225, страница 71.

Условие.

225. Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. Обозначим сторону основания (квадрата $ABCD$) как $a$, а высоту призмы (длину бокового ребра $AA_1$) как $h$.

Рассмотрим диагональ призмы $B_1D$. Угол между этой диагональю и плоскостью боковой грани, например, гранью $CDD_1C_1$, по условию равен $30^\circ$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию диагонали $B_1D$ на плоскость боковой грани $(CDD_1)$. Точка $D$ уже лежит в этой плоскости. Чтобы спроецировать точку $B_1$, опустим из неё перпендикуляр на плоскость $(CDD_1)$. Так как призма правильная, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно ребру $C_1D_1$. Также, поскольку призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию, а значит, и ребру $B_1C_1$. Таким образом, прямая $B_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($C_1D_1$ и $CC_1$) в плоскости $(CDD_1)$, следовательно, $B_1C_1 \perp (CDD_1)$. Значит, проекцией точки $B_1$ на плоскость $(CDD_1)$ является точка $C_1$. Следовательно, проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость $(CDD_1)$ является отрезок $C_1D$.

Угол между диагональю $B_1D$ и её проекцией $C_1D$ — это угол $\angle B_1DC_1$. По условию, $\angle B_1DC_1 = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1C_1D$ (угол $\angle B_1C_1D = 90^\circ$, так как $B_1C_1 \perp (CDD_1)$). В этом треугольнике катет $B_1C_1 = a$. Катет $C_1D$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора для $\triangle CC_1D$, $C_1D^2 = C_1C^2 + CD^2 = h^2 + a^2$, откуда $C_1D = \sqrt{h^2+a^2}$. Из $\triangle B_1C_1D$ имеем: $\tan(\angle B_1DC_1) = \frac{B_1C_1}{C_1D}$ $\tan(30^\circ) = \frac{a}{\sqrt{h^2+a^2}}$ Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{h^2+a^2}}$ Возведём обе части в квадрат: $\frac{1}{3} = \frac{a^2}{h^2+a^2}$ $h^2 + a^2 = 3a^2$ $h^2 = 2a^2$ $h = a\sqrt{2}$

Теперь найдём угол между диагональю призмы $B_1D$ и плоскостью основания $ABCD$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Этот угол равен углу между прямой $B_1D$ и её проекцией на плоскость $(ABCD)$. Точка $D$ лежит в плоскости основания. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $(ABCD)$ является точка $B$, так как боковое ребро $B_1B$ перпендикулярно основанию. Следовательно, проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость основания является диагональ основания $BD$. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle B_1DB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BD$ (угол $\angle B_1BD = 90^\circ$). Катет $B_1B = h$. Катет $BD$ — диагональ квадрата $ABCD$, его длина $BD = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Найдём тангенс угла $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{B_1B}{BD} = \frac{h}{a\sqrt{2}}$ Подставим найденное ранее соотношение $h = a\sqrt{2}$: $\tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$ Отсюда следует, что $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.