Номер 224, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

224. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 42 см.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании такой призмы лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону основания как $a$, а высоту призмы как $h$.

1. Найдём сторону основания призмы.

Основанием является квадрат $ABCD$. Диагональ основания, например $AC$, связана со стороной квадрата $a$ (где $a=AB=BC=CD=DA$) соотношением $d_{основания} = a\sqrt{2}$. По условию, диагональ основания равна $4\sqrt{2}$ см. Следовательно, мы можем записать уравнение:

$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Отсюда находим, что сторона основания $a = 4$ см.

2. Найдём высоту призмы.

Диагональ призмы, например $AC_1$, наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания $ABC$ является диагональ основания $AC$. Таким образом, угол $\angle C_1AC = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC_1C$, в котором угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$, так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию. В этом треугольнике катет $AC = 4\sqrt{2}$ см (диагональ основания), а катет $CC_1 = h$ (высота призмы). Высоту $h$ можно найти через тангенс угла $\angle C_1AC$:

$\tan(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC}$

$h = CC_1 = AC \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см.

3. Найдём площадь сечения.

Искомое сечение проходит через сторону нижнего основания, например $AD$, и противолежащую ей сторону верхнего основания $B_1C_1$. Полученное сечение — это четырёхугольник $ADC_1B_1$.

Поскольку призма правильная, то $AD \parallel BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, следовательно $AD \parallel B_1C_1$. Также их длины равны: $AD = B_1C_1 = a = 4$ см. Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Докажем, что этот параллелограмм является прямоугольником. Так как призма прямая, боковая грань $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Ребро $AD$ лежит в плоскости основания и перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей ($CD$, так как $ABCD$ - квадрат). Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно всей плоскости грани $CDD_1C_1$. Это означает, что $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $DC_1$. Таким образом, угол $\angle ADC_1 = 90^\circ$.

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником, значит, сечение $ADC_1B_1$ — это прямоугольник. Его площадь равна произведению длин смежных сторон $AD$ и $DC_1$.

Длина стороны $AD = a = 4$ см.

Длину стороны $DC_1$ найдём из прямоугольного треугольника $\triangle DCC_1$ (угол $\angle DCC_1 = 90^\circ$) по теореме Пифагора:

$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2$

$DC_1^2 = a^2 + h^2 = 4^2 + (4\sqrt{6})^2 = 16 + 16 \cdot 6 = 16 + 96 = 112$

$DC_1 = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения $S_{ADC_1B_1}$:

$S = AD \cdot DC_1 = 4 \cdot 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{7}$ см$^2$.