Номер 226, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

226. В правильной четырёхугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а её высота равна 4 см.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — квадрат в основании. По условию задачи, сторона основания $a=2$ см, а высота призмы $H=4$ см. Таким образом, $AB=BC=CD=DA=2$ см и $AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=4$ см.

Сечение проведено через диагональ основания, например, через диагональ $BD$. Плоскость сечения параллельна диагонали призмы, которая не пересекает диагональ $BD$. Такой диагональю является, например, $A_1C$.

Для построения искомого сечения воспользуемся следующим методом. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Так как сечение проходит через $BD$, точка $O$ принадлежит плоскости сечения. Поскольку плоскость сечения параллельна $A_1C$, она должна содержать прямую, проходящую через точку $O$ и параллельную $A_1C$.

Рассмотрим треугольник $AA_1C$. Точка $O$ является серединой стороны $AC$. Пусть точка $M$ — середина бокового ребра $AA_1$. Тогда отрезок $OM$ является средней линией треугольника $AA_1C$. По свойству средней линии, $OM$ параллельна стороне $A_1C$.

Следовательно, плоскость сечения проходит через прямую $BD$ и прямую $OM$. Это означает, что точки $B$, $D$ и $M$ лежат в одной плоскости и определяют наше сечение. Таким образом, искомое сечение — это многоугольник, являющийся пересечением плоскости $(BDM)$ с призмой. В данном случае это треугольник $\triangle BDM$.

Найдите площадь сечения

Для нахождения площади сечения, которое является треугольником $\triangle BDM$, вычислим длины его сторон.

1. Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=2$ см. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Сторона $DM$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $AD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle ADM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

$DM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Сторона $BM$. Аналогично, ребро $AA_1$ перпендикулярно прямой $AB$. Треугольник $\triangle ABM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

$BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Так как все стороны треугольника $\triangle BDM$ равны ($BD = DM = BM = 2\sqrt{2}$ см), то он является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим значение стороны $s=2\sqrt{2}$ см:

$S = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см$^2$.