Номер 233, страница 72 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

233. Основанием прямой призмы ABCА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро ВВ₁ проведено сечение BB₁D₁D, перпендикулярное к плоскости грани AA₁C₁C. Найдите площадь сечения, если АА₁ = 10 см, AD = 27 см, DC = 12 см.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В частности, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Сечение $BB_1D_1D$ — это четырехугольник, образованный боковым ребром $BB_1$ и отрезком $BD$ в основании. Так как $BB_1 \perp (ABC)$, то $BB_1 \perp BD$. Поскольку призма прямая, $BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$. Следовательно, четырехугольник $BB_1D_1D$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $BB_1D_1D$ вычисляется по формуле: $S_{BB_1D_1D} = BB_1 \cdot BD$.

Длина бокового ребра $BB_1$ равна высоте призмы $AA_1$, то есть $BB_1 = AA_1 = 10$ см.

Теперь найдем длину отрезка $BD$. Из условия известно, что плоскость сечения $(BB_1D_1D)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(AA_1C_1C)$. Рассмотрим основание призмы — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. Проведем в нем высоту $BH$ из вершины $B$ на гипотенузу $AC$. Таким образом, $BH \perp AC$.

Поскольку призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости. В частности, $AA_1 \perp BH$.

Так как прямая $BH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $(AA_1C_1C)$, то прямая $BH$ перпендикулярна всей плоскости $(AA_1C_1C)$.

Плоскость сечения $(BB_1D_1D)$ проходит через прямую $BD$ и перпендикулярна плоскости $(AA_1C_1C)$. Это возможно только в том случае, если прямая $BD$ совпадает с высотой $BH$. Следовательно, точка $D$ является основанием высоты, проведенной из вершины $B$ к гипотенузе $AC$, и $BD \perp AC$.

Теперь мы можем найти длину высоты $BD$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. По свойству высоты, проведенной к гипотенузе, она является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть: $BD^2 = AD \cdot DC$

Подставим известные значения $AD = 27$ см и $DC = 12$ см: $BD^2 = 27 \cdot 12 = 324$

$BD = \sqrt{324} = 18$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения $BB_1D_1D$: $S_{BB_1D_1D} = BB_1 \cdot BD = 10 \cdot 18 = 180$ см².

Ответ: 180 см².