Страница 72 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

233. Основанием прямой призмы ABCА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро ВВ₁ проведено сечение BB₁D₁D, перпендикулярное к плоскости грани AA₁C₁C. Найдите площадь сечения, если АА₁ = 10 см, AD = 27 см, DC = 12 см.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В частности, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Сечение $BB_1D_1D$ — это четырехугольник, образованный боковым ребром $BB_1$ и отрезком $BD$ в основании. Так как $BB_1 \perp (ABC)$, то $BB_1 \perp BD$. Поскольку призма прямая, $BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$. Следовательно, четырехугольник $BB_1D_1D$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $BB_1D_1D$ вычисляется по формуле: $S_{BB_1D_1D} = BB_1 \cdot BD$.

Длина бокового ребра $BB_1$ равна высоте призмы $AA_1$, то есть $BB_1 = AA_1 = 10$ см.

Теперь найдем длину отрезка $BD$. Из условия известно, что плоскость сечения $(BB_1D_1D)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(AA_1C_1C)$. Рассмотрим основание призмы — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. Проведем в нем высоту $BH$ из вершины $B$ на гипотенузу $AC$. Таким образом, $BH \perp AC$.

Поскольку призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости. В частности, $AA_1 \perp BH$.

Так как прямая $BH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $(AA_1C_1C)$, то прямая $BH$ перпендикулярна всей плоскости $(AA_1C_1C)$.

Плоскость сечения $(BB_1D_1D)$ проходит через прямую $BD$ и перпендикулярна плоскости $(AA_1C_1C)$. Это возможно только в том случае, если прямая $BD$ совпадает с высотой $BH$. Следовательно, точка $D$ является основанием высоты, проведенной из вершины $B$ к гипотенузе $AC$, и $BD \perp AC$.

Теперь мы можем найти длину высоты $BD$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. По свойству высоты, проведенной к гипотенузе, она является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть: $BD^2 = AD \cdot DC$

Подставим известные значения $AD = 27$ см и $DC = 12$ см: $BD^2 = 27 \cdot 12 = 324$

$BD = \sqrt{324} = 18$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения $BB_1D_1D$: $S_{BB_1D_1D} = BB_1 \cdot BD = 10 \cdot 18 = 180$ см².

Ответ: 180 см².

234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.

Пусть дана прямая призма, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты равны $BC = a = 20$ см и $AC = b = 21$ см. Боковое ребро, равное высоте призмы, составляет $h = 42$ см.

1. Нахождение параметров основания
Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора: $c = AB = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ см.

2. Анализ сечения
По условию, секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину гипотенузы $AB$, обозначим эту точку $M$, и перпендикулярна гипотенузе $AB$. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Следовательно, боковые ребра перпендикулярны и гипотенузе $AB$, лежащей в этой плоскости. Поскольку и секущая плоскость $\alpha$, и боковые ребра перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, то плоскость $\alpha$ параллельна боковым ребрам призмы. Это означает, что сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте призмы $h$, а другая — длине отрезка, который плоскость $\alpha$ высекает в треугольнике-основании $ABC$.

3. Нахождение ширины сечения
Ширина сечения — это длина отрезка, являющегося пересечением плоскости $\alpha$ и треугольника $ABC$. Этот отрезок лежит на прямой, проходящей через точку $M$ перпендикулярно $AB$. Определим, какие стороны треугольника $ABC$ пересекает эта прямая. Пусть прямая пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Рассмотрим треугольник $AKM$. Он является прямоугольным, так как по построению $KM \perp AB$ (а значит и $KM \perp AM$). Угол $\angle A$ является общим для треугольников $ABC$ и $AKM$. Из треугольника $ABC$ найдем тангенс угла $A$: $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b} = \frac{20}{21}$.

В прямоугольном треугольнике $AKM$ (с прямым углом при $M$) сторона $KM$ равна: $KM = AM \cdot \tan A$. Точка $M$ – середина гипотенузы $AB$, поэтому $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{29}{2}$ см. Длина отрезка $KM$ составляет: $KM = \frac{29}{2} \cdot \frac{20}{21} = \frac{29 \cdot 10}{21} = \frac{290}{21}$ см.

Чтобы убедиться, что отрезок-основание сечения — это именно $KM$, нужно проверить, что точка $K$ лежит на катете $AC$, а пересечение с продолжением катета $BC$ лежит вне треугольника. Длина отрезка $AK$ в треугольнике $AKM$ равна $AK = \frac{AM}{\cos A}$. Из $\triangle ABC$, $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{21}{29}$. Тогда $AK = \frac{29/2}{21/29} = \frac{841}{42} \approx 20.02$ см. Поскольку $AK < AC$ ($20.02 < 21$), точка $K$ лежит на катете $AC$. Аналогичный расчет для стороны $BC$ показал бы, что точка пересечения лежит вне катета. Таким образом, основанием сечения является отрезок $KM$.

4. Вычисление площади сечения
Сечение является прямоугольником со сторонами, равными длине отрезка $KM$ и высоте призмы $h$. Площадь сечения $S$ равна: $S = KM \cdot h = \frac{290}{21} \cdot 42 = 290 \cdot \frac{42}{21} = 290 \cdot 2 = 580$ см$^2$.

Ответ: $580 \text{ см}^2$.

235. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол θ с плоскостью основания. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть острый угол $\angle BAC = \phi$. Катет, противолежащий этому углу, — это $BC$. Сечение проходит через катет $BC$ и вершину $A_1$ верхнего основания, которая соответствует вершине $A$ нижнего основания. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $A_1BC$.

Угол $\theta$ между плоскостью сечения ($A_1BC$) и плоскостью основания ($ABC$) — это двугранный угол вдоль их линии пересечения $BC$. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла проведем перпендикуляры к $BC$ в каждой из плоскостей.

В плоскости основания, так как $\triangle ABC$ прямоугольный, $AC \perp BC$.
Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, следовательно, грань $ACC_1A_1$ перпендикулярна основанию $ABC$. Так как $BC$ лежит в основании и $BC \perp AC$, то $BC$ перпендикулярна всей плоскости грани $ACC_1A_1$. Отсюда следует, что $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $A_1C$.

Таким образом, $\angle A_1CA$ является линейным углом двугранного угла, и $\angle A_1CA = \theta$.

Введем обозначения. Пусть катет $AC = b$. Высота призмы равна $H = AA_1 = CC_1$.Из прямоугольного треугольника $A_1CA$ (угол $C$ прямой, так как призма прямая) имеем:$ \tan \theta = \frac{CC_1}{AC} = \frac{H}{b} \implies H = b \tan \theta $

Теперь выразим стороны основания $\triangle ABC$ через $b$ и угол $\phi$:

• $AC = b$
• $BC = AC \tan \phi = b \tan \phi$
• $AB = \frac{AC}{\cos \phi} = \frac{b}{\cos \phi}$

Найдем площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$. Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $H$.$P_{осн} = AC + BC + AB = b + b \tan \phi + \frac{b}{\cos \phi} = b(1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi} + \frac{1}{\cos \phi}) = b \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi}$$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = \left( b \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi} \right) \cdot (b \tan \theta) = b^2 \tan \theta \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi}$

Найдем площадь сечения $S_{сеч}$. Сечение — это треугольник $A_1BC$. Как мы показали, $A_1C \perp BC$, значит, $\triangle A_1BC$ — прямоугольный.Его площадь равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} BC \cdot A_1C$.Сторону $BC$ мы уже нашли: $BC = b \tan \phi$.Сторону $A_1C$ найдем из прямоугольного $\triangle A_1CA$: $A_1C = \frac{AC}{\cos \theta} = \frac{b}{\cos \theta}$.Следовательно, площадь сечения:$S_{сеч} = \frac{1}{2} (b \tan \phi) \left( \frac{b}{\cos \theta} \right) = \frac{b^2 \tan \phi}{2 \cos \theta}$

Теперь найдем искомое отношение площади боковой поверхности к площади сечения:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{b^2 \tan \theta \frac{1 + \sin \phi + \cos \phi}{\cos \phi}}{\frac{b^2 \tan \phi}{2 \cos \theta}} $Сократив $b^2$, получим:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \tan \theta \cos \theta (1 + \sin \phi + \cos \phi)}{\tan \phi \cos \phi} $Используя тождества $\tan x \cos x = \sin x$, упрощаем выражение:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \phi + \cos \phi)}{\sin \phi} $

Это выражение можно упростить далее, используя формулы половинного угла.$1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
$\sin \phi = 2 \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2})$
Тогда $1 + \sin \phi + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2}) + 2 \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2}) = 2 \cos(\frac{\phi}{2}) (\cos(\frac{\phi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}))$Подставим это в наше отношение:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \sin \theta \left[ 2 \cos(\frac{\phi}{2}) (\cos(\frac{\phi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2})) \right]}{2 \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2})} $Сократив $2 \cos(\frac{\phi}{2})$, получаем:$ \frac{S_{бок}}{S_{сеч}} = \frac{2 \sin \theta (\cos(\frac{\phi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}))}{\sin(\frac{\phi}{2})} = 2 \sin \theta \left( \frac{\cos(\frac{\phi}{2})}{\sin(\frac{\phi}{2})} + 1 \right) = 2 \sin \theta (\cot(\frac{\phi}{2}) + 1) $

Ответ: $ \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \phi + \cos \phi)}{\sin \phi} $ или в более простом виде $ 2 \sin \theta (1 + \cot(\frac{\phi}{2})) $.

236. Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Рассмотрим произвольную наклонную n-угольную призму. Её боковая поверхность представляет собой совокупность $n$ параллелограммов, которые являются боковыми гранями призмы.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех этих боковых граней: $S_{бок} = S_1 + S_2 + ... + S_n$, где $S_i$ — площадь i-ой боковой грани.

Все боковые ребра призмы параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. Обозначим длину бокового ребра буквой $l$.

Построим перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, образованный пересечением призмы с плоскостью, которая перпендикулярна её боковым рёбрам. Обозначим длины сторон этого многоугольника через $p_1, p_2, ..., p_n$.

Периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$ равен сумме длин его сторон: $P_{сеч} = p_1 + p_2 + ... + p_n$.

Рассмотрим одну из боковых граней, например, i-ую грань. Эта грань является параллелограммом. Её площадь $S_i$ можно вычислить как произведение длины основания на высоту, проведённую к этому основанию. Выберем в качестве основания боковое ребро этой грани, его длина равна $l$.

Высотой данного параллелограмма, проведённой к выбранному основанию (боковому ребру), является расстояние между этим ребром и смежным с ним боковым ребром. По определению перпендикулярного сечения, его плоскость перпендикулярна всем боковым рёбрам. Следовательно, отрезок $p_i$, являющийся стороной перпендикулярного сечения и соединяющий два смежных боковых ребра, перпендикулярен им обоим. Таким образом, длина отрезка $p_i$ и есть высота i-ой боковой грани, опущенная на сторону $l$.

Значит, площадь i-ой боковой грани вычисляется по формуле: $S_i = l \cdot p_i$.

Теперь можно найти общую площадь боковой поверхности, просуммировав площади всех граней: $S_{бок} = S_1 + S_2 + ... + S_n = l \cdot p_1 + l \cdot p_2 + ... + l \cdot p_n$.

Вынесем общий множитель $l$ за скобки: $S_{бок} = l \cdot (p_1 + p_2 + ... + p_n)$.

Выражение в скобках представляет собой периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$. Подставив это обозначение, получаем итоговую формулу: $S_{бок} = l \cdot P_{сеч}$.

Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра перпендикулярного сечения $P_{сеч}$ на длину бокового ребра $l$, что выражается формулой $S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$.

237. Боковое ребро наклонной четырёхугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по теореме, согласно которой она равна произведению периметра перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$).

Формула для расчета выглядит следующим образом:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

Из условия задачи нам известны следующие величины:
- Длина бокового ребра $l = 12$ см.
- Перпендикулярным сечением является ромб со стороной $a = 5$ см.

1. Найдем периметр перпендикулярного сечения.

Перпендикулярное сечение — это ромб. Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как у ромба все четыре стороны равны, его периметр $P_{\perp}$ вычисляется по формуле:

$P_{\perp} = 4 \cdot a$

Подставим известное значение стороны ромба $a = 5$ см:

$P_{\perp} = 4 \cdot 5 = 20$ см.

2. Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Теперь, когда мы знаем периметр перпендикулярного сечения ($P_{\perp} = 20$ см) и длину бокового ребра ($l = 12$ см), мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 20 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 240$ $см^2$.

Ответ: $240$ $см^2$.

238. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых рёбер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{перп}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник, который образуется при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. Для треугольной призмы это треугольник. Стороны этого треугольника равны расстояниям между параллельными боковыми рёбрами.

Из условия задачи известно, что длина бокового ребра, общего для двух взаимно перпендикулярных граней, составляет $l = 24$ см.

Также дано, что это общее ребро отстоит от двух других рёбер на 12 см и 35 см. Эти расстояния являются двумя сторонами перпендикулярного сечения. Обозначим их $a = 12$ см и $b = 35$ см.

Поскольку две боковые грани, имеющие общее ребро, взаимно перпендикулярны, то двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Этот угол равен углу между соответствующими сторонами перпендикулярного сечения. Следовательно, перпендикулярное сечение представляет собой прямоугольный треугольник, где $a$ и $b$ являются катетами.

Третью сторону этого треугольника (гипотенузу $c$) найдём по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 35^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37$ см.

Теперь можем найти периметр перпендикулярного сечения, который равен сумме длин его сторон: $P_{перп} = a + b + c = 12 + 35 + 37 = 84$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 84 \cdot 24 = 2016$ см².

Ответ: 2016 см².