Страница 75 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку $O$ пересечения диагоналей ромба.
По условию задачи даны: сторона ромба $a = 5$ см, одна из диагоналей $d_1 = AC = 8$ см, высота пирамиды $H = SO = 7$ см.

Нахождение диагоналей ромба
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AO = OC = \frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом $AOB$.
По теореме Пифагора для треугольника $AOB$, где гипотенуза $AB=5$ см и катет $AO=4$ см, найдем второй катет $BO$:
$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
$BO = \sqrt{9} = 3$ см.
Таким образом, половина второй диагонали равна 3 см. Вся вторая диагональ $d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Нахождение боковых ребер
Поскольку высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, треугольники $SOA$, $SOB$, $SOC$ и $SOD$ являются прямоугольными. Боковые ребра пирамиды — это гипотенузы этих треугольников.
Расстояния от основания высоты до вершин ромба равны половинам диагоналей: $OA = OC = 4$ см и $OB = OD = 3$ см. Это означает, что у пирамиды есть две пары равных боковых ребер.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ для нахождения ребер $SA$ и $SC$:
$SA^2 = SO^2 + AO^2 = 7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65$
$SA = SC = \sqrt{65}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$ для нахождения ребер $SB$ и $SD$:
$SB^2 = SO^2 + BO^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$
$SB = SD = \sqrt{58}$ см.

Ответ: два боковых ребра равны $\sqrt{65}$ см, а два других — $\sqrt{58}$ см.

240. Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $a = 20$ см и $b = 36$ см. Площадь основания $S_{осн} = 360$ см?. Высота пирамиды $H = 12$ см, и ее основание, точка $O$, совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ складывается из площадей четырех боковых граней, которые являются треугольниками. Поскольку высота пирамиды опущена в центр симметрии основания (точку пересечения диагоналей), противолежащие боковые грани попарно равны. Площадь боковой поверхности можно найти как сумму площадей двух пар равных треугольников: $S_{бок} = 2 \cdot S_1 + 2 \cdot S_2$, где $S_1$ и $S_2$ – площади смежных боковых граней с основаниями $a$ и $b$ соответственно.

Площадь каждой грани равна половине произведения ее основания на высоту, проведенную к этому основанию (апофему). Пусть $h_a$ и $h_b$ – апофемы, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно. Тогда формула площади боковой поверхности примет вид: $S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a h_a) + 2 \cdot (\frac{1}{2} b h_b) = a h_a + b h_b$.

Чтобы найти апофемы, сначала определим высоты параллелограмма в основании, проведенные к сторонам $a$ и $b$. Обозначим их $H_a$ и $H_b$. Из формулы площади параллелограмма $S_{осн} = a \cdot H_a$ находим высоту, проведенную к стороне $a$: $H_a = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{360}{20} = 18$ см. Аналогично для стороны $b$: $H_b = \frac{S_{осн}}{b} = \frac{360}{36} = 10$ см.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма $O$ находится на одинаковом расстоянии от противолежащих сторон, и это расстояние равно половине соответствующей высоты параллелограмма. Обозначим эти расстояния (проекции апофем на основание) как $r_a$ и $r_b$: $r_a = \frac{H_a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см. $r_b = \frac{H_b}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Эти отрезки являются катетами в прямоугольных треугольниках, где вторым катетом является высота пирамиды $H$, а гипотенузой — соответствующая апофема.

По теореме Пифагора находим длины апофем $h_a$ и $h_b$: $h_a = \sqrt{H^2 + r_a^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. $h_b = \sqrt{H^2 + r_b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, подставив найденные значения в формулу: $S_{бок} = a \cdot h_a + b \cdot h_b = 20 \cdot 15 + 36 \cdot 13 = 300 + 468 = 768$ см?.

Ответ: 768 см?.

241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала найдем площадь основания. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $a=5$ м, $b=4$ м и меньшей диагональю $d_1=3$ м. Эта диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника со сторонами 5 м, 4 м и 3 м. Для этих сторон выполняется теорема Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Это означает, что треугольники являются прямоугольными с катетами 3 м и 4 м. Площадь одного такого треугольника составляет $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ м². Площадь всего параллелограмма в основании равна удвоенной площади треугольника: $S_{осн} = 2 \cdot S_{тр} = 2 \cdot 6 = 12$ м².

Далее найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из четырех треугольных граней. Поскольку высота пирамиды $H=2$ м проходит через точку пересечения диагоналей основания (центр симметрии параллелограмма), боковые грани попарно равны. Есть две грани с основанием $a=5$ м и две грани с основанием $b=4$ м. Для вычисления их площадей необходимо найти высоты этих граней (апофемы), которые мы обозначим $h_5$ и $h_4$.

Апофему можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и расстояние от ее основания до соответствующей стороны основания параллелограмма. Эти расстояния равны половинам высот параллелограмма. Найдем высоты параллелограмма $h_{p,5}$ (к стороне 5) и $h_{p,4}$ (к стороне 4), используя его площадь:

$h_{p,5} = \frac{S_{осн}}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ м.

$h_{p,4} = \frac{S_{осн}}{4} = \frac{12}{4} = 3$ м.

Расстояния от центра до сторон равны $m_5 = \frac{h_{p,5}}{2} = \frac{2.4}{2} = 1.2$ м и $m_4 = \frac{h_{p,4}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ м.

Теперь по теореме Пифагора находим апофемы:

Апофема к стороне 5: $h_5 = \sqrt{H^2 + m_5^2} = \sqrt{2^2 + 1.2^2} = \sqrt{4 + 1.44} = \sqrt{5.44}$ м.

Апофема к стороне 4: $h_4 = \sqrt{H^2 + m_4^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ м.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех граней:

$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_5) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_4) = 5 \cdot h_5 + 4 \cdot h_4$.

Подставим значения: $S_{бок} = 5 \sqrt{5.44} + 4 \cdot 2.5 = 5 \sqrt{5.44} + 10$.

Упростим корень: $\sqrt{5.44} = \sqrt{\frac{544}{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 34}}{10} = \frac{4\sqrt{34}}{10} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$.

Тогда $S_{бок} = 5 \cdot \frac{2\sqrt{34}}{5} + 10 = 2\sqrt{34} + 10$ м².

Наконец, находим площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 12 + (10 + 2\sqrt{34}) = 22 + 2\sqrt{34}$ м².

Итоговый результат можно записать как $S_{полн} = 2(11 + \sqrt{34})$ м².

Ответ: $22 + 2\sqrt{34}$ м² или $2(11 + \sqrt{34})$ м².