Номер 241, страница 75 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Пирамида. Глава 3. Многогранники - номер 241, страница 75.

Условие.

241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала найдем площадь основания. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $a=5$ м, $b=4$ м и меньшей диагональю $d_1=3$ м. Эта диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника со сторонами 5 м, 4 м и 3 м. Для этих сторон выполняется теорема Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Это означает, что треугольники являются прямоугольными с катетами 3 м и 4 м. Площадь одного такого треугольника составляет $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ м². Площадь всего параллелограмма в основании равна удвоенной площади треугольника: $S_{осн} = 2 \cdot S_{тр} = 2 \cdot 6 = 12$ м².

Далее найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из четырех треугольных граней. Поскольку высота пирамиды $H=2$ м проходит через точку пересечения диагоналей основания (центр симметрии параллелограмма), боковые грани попарно равны. Есть две грани с основанием $a=5$ м и две грани с основанием $b=4$ м. Для вычисления их площадей необходимо найти высоты этих граней (апофемы), которые мы обозначим $h_5$ и $h_4$.

Апофему можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и расстояние от ее основания до соответствующей стороны основания параллелограмма. Эти расстояния равны половинам высот параллелограмма. Найдем высоты параллелограмма $h_{p,5}$ (к стороне 5) и $h_{p,4}$ (к стороне 4), используя его площадь:

$h_{p,5} = \frac{S_{осн}}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ м.

$h_{p,4} = \frac{S_{осн}}{4} = \frac{12}{4} = 3$ м.

Расстояния от центра до сторон равны $m_5 = \frac{h_{p,5}}{2} = \frac{2.4}{2} = 1.2$ м и $m_4 = \frac{h_{p,4}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ м.

Теперь по теореме Пифагора находим апофемы:

Апофема к стороне 5: $h_5 = \sqrt{H^2 + m_5^2} = \sqrt{2^2 + 1.2^2} = \sqrt{4 + 1.44} = \sqrt{5.44}$ м.

Апофема к стороне 4: $h_4 = \sqrt{H^2 + m_4^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ м.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех граней:

$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_5) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_4) = 5 \cdot h_5 + 4 \cdot h_4$.

Подставим значения: $S_{бок} = 5 \sqrt{5.44} + 4 \cdot 2.5 = 5 \sqrt{5.44} + 10$.

Упростим корень: $\sqrt{5.44} = \sqrt{\frac{544}{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 34}}{10} = \frac{4\sqrt{34}}{10} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$.

Тогда $S_{бок} = 5 \cdot \frac{2\sqrt{34}}{5} + 10 = 2\sqrt{34} + 10$ м².

Наконец, находим площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 12 + (10 + 2\sqrt{34}) = 22 + 2\sqrt{34}$ м².

Итоговый результат можно записать как $S_{полн} = 2(11 + \sqrt{34})$ м².

Ответ: $22 + 2\sqrt{34}$ м² или $2(11 + \sqrt{34})$ м².