Номер 244, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза AB равна 29 см, а катет АС равен 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{?DAC} + S_{?DAB} + S_{?DBC}$. Найдем площадь каждой грани по отдельности.

1. Нахождение катета BC в основании

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором гипотенуза $AB = 29$ см и катет $AC = 21$ см. Предполагается, что прямой угол — это $\angle C$. Найдем второй катет $BC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{(29-21)(29+21)} = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20$ см.

2. Нахождение площади грани DAC

По условию боковое ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что ребро $DA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $DA \perp AC$, и треугольник $DAC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAC$.

Площадь треугольника $DAC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{?DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 10 \cdot 21 = 210$ см$^2$.

3. Нахождение площади грани DAB

Аналогично, так как $DA \perp (ABC)$, то $DA \perp AB$. Следовательно, треугольник $DAB$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle DAB$.

Площадь треугольника $DAB$ равна:

$S_{?DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 10 \cdot 29 = 290$ см$^2$.

4. Нахождение площади грани DBC

Для нахождения площади грани $DBC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $DA$ к плоскости $(ABC)$, наклонная $DC$ к этой плоскости и ее проекция $AC$.

Поскольку проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$ (так как $\angle C = 90°$), то и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $BC$. Таким образом, треугольник $DBC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DCB$.

Для вычисления его площади нам нужны длины катетов $BC$ и $DC$. Длина $BC$ нам известна ($20$ см). Найдем длину гипотенузы $DC$ из прямоугольного треугольника $DAC$:

$DC^2 = DA^2 + AC^2$

$DC = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ см.

Теперь можем найти площадь треугольника $DBC$:

$S_{?DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 10 \cdot 29 = 290$ см$^2$.

5. Вычисление площади боковой поверхности пирамиды

Сложим площади всех боковых граней, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = S_{?DAC} + S_{?DAB} + S_{?DBC} = 210 + 290 + 290 = 790$ см$^2$.

Ответ: $790$ см$^2$.