Номер 243, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC}$.

1. Найдем площади граней $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$.

По условию, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это значит, что $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AD \perp AB$ и $AD \perp AC$.

Таким образом, треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$ являются прямоугольными с катетами $AD$, $AB$ и $AD$, $AC$ соответственно.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58,5$ см$^2$.
Так как $AB = AC$, то площадь треугольника $\triangle DAC$ равна площади треугольника $\triangle DAB$:
$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58,5$ см$^2$.

2. Найдем площадь грани $\triangle DBC$.

Для нахождения площади $\triangle DBC$ используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ - основание, $h_a$ - высота, проведенная к этому основанию. Возьмем за основание сторону $BC=10$ см и найдем высоту $DM$, проведенную к этому основанию.

Сначала рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ в основании. Он равнобедренный, так как $AB=AC=13$ см. Проведем в нем высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, $M$ — середина $BC$, и $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AMB$ по теореме Пифагора найдем высоту $AM$:
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вернемся к пирамиде. $AD$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $DM$ — наклонная к этой плоскости, $AM$ — ее проекция на эту плоскость. Так как проекция $AM$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AM \perp BC$), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DM$ перпендикулярна прямой $BC$ ($DM \perp BC$).

Следовательно, $DM$ является высотой треугольника $\triangle DBC$.

Найдем длину $DM$ из прямоугольного треугольника $\triangle DAM$ (угол $\angle DAM = 90^\circ$, так как $AD \perp AM$). По теореме Пифагора:
$DM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь можем вычислить площадь грани $\triangle DBC$:
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75$ см$^2$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды.

Суммируем площади всех боковых граней:
$S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} = 58,5 + 58,5 + 75 = 117 + 75 = 192$ см$^2$.

Ответ: 192 см$^2$.