Номер 245, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Пирамида. Глава 3. Многогранники - номер 245, страница 76.

Условие.

245. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$. Диагональ прямоугольника $AC = 8$ см.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $SAB$ и $SAD$. Если две пересекающиеся плоскости ($SAB$ и $SAD$) перпендикулярны третьей плоскости (основанию $ABCD$), то линия их пересечения ($SA$) также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим $SA = h$.

Поскольку $SA \perp (ABCD)$, то треугольники $SAB$ и $SAD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $A$.

Две другие боковые грани, $SBC$ и $SDC$, образуют с основанием углы $30^\circ$ и $45^\circ$.

Угол между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$ — это двугранный угол при ребре $BC$. Так как $SA \perp (ABCD)$, то $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $AB$ — проекция наклонной $SB$ на плоскость основания. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $AB \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SB$ также перпендикулярна $BC$ ($SB \perp BC$). Следовательно, угол $\angle SBA$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$, и он равен одному из заданных углов.

Аналогично, для грани $SDC$: $SA \perp (ABCD)$, $AD$ — проекция наклонной $SD$. Так как $AD \perp DC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SD \perp DC$. Следовательно, угол $\angle SDA$ является линейным углом двугранного угла при ребре $DC$ и равен другому из заданных углов.

Пусть $\angle SBA = 30^\circ$ и $\angle SDA = 45^\circ$. Обозначим стороны прямоугольника $AB = a$ и $AD = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAB$: $ \text{tg}(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} \Rightarrow \text{tg}(30^\circ) = \frac{h}{a} \Rightarrow h = a \cdot \text{tg}(30^\circ) = \frac{a}{\sqrt{3}} $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAD$: $ \text{tg}(\angle SDA) = \frac{SA}{AD} \Rightarrow \text{tg}(45^\circ) = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \cdot \text{tg}(45^\circ) = b $

Таким образом, мы получили, что высота пирамиды $h=b$, а сторона основания $a = h\sqrt{3}$.

В прямоугольнике $ABCD$ по теореме Пифагора для диагонали $AC$: $ a^2 + b^2 = AC^2 $ $ (h\sqrt{3})^2 + h^2 = 8^2 $ $ 3h^2 + h^2 = 64 $ $ 4h^2 = 64 $ $ h^2 = 16 $ $ h = 4 $ см.

Теперь найдем стороны основания: $ b = h = 4 $ см. $ a = h\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $ см.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} $

Найдем площадь основания

$ S_{осн} = a \cdot b = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} $ см$^2$.

Найдем площадь боковой поверхности

$ S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SDC} $

Площадь прямоугольного треугольника $SAB$: $ S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $ см$^2$.

Площадь прямоугольного треугольника $SAD$: $ S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot h \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 $ см$^2$.

Для нахождения площади треугольника $SBC$ (который является прямоугольным, так как $SB \perp BC$) найдем апофему $SB$ из $\triangle SAB$: $ SB = \frac{SA}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8 $ см. $ S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot b \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16 $ см$^2$.

Для нахождения площади треугольника $SDC$ (который является прямоугольным, так как $SD \perp DC$) найдем апофему $SD$ из $\triangle SAD$: $ SD = \frac{SA}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\sqrt{2}/2} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} $ см. $ S_{\triangle SDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{6} $ см$^2$.

Теперь сложим площади боковых граней: $ S_{бок} = 8\sqrt{3} + 8 + 16 + 8\sqrt{6} = 24 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{6} $ см$^2$.

Найдем полную площадь поверхности пирамиды

$ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 16\sqrt{3} + (24 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{6}) = 24 + 24\sqrt{3} + 8\sqrt{6} $ см$^2$.

Выражение можно представить, вынеся общий множитель 8 за скобки: $ S_{полн} = 8(3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{6}) $ см$^2$.

Ответ: $24 + 24\sqrt{3} + 8\sqrt{6}$ см$^2$.