Номер 240, страница 75 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

240. Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $a = 20$ см и $b = 36$ см. Площадь основания $S_{осн} = 360$ см?. Высота пирамиды $H = 12$ см, и ее основание, точка $O$, совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ складывается из площадей четырех боковых граней, которые являются треугольниками. Поскольку высота пирамиды опущена в центр симметрии основания (точку пересечения диагоналей), противолежащие боковые грани попарно равны. Площадь боковой поверхности можно найти как сумму площадей двух пар равных треугольников: $S_{бок} = 2 \cdot S_1 + 2 \cdot S_2$, где $S_1$ и $S_2$ – площади смежных боковых граней с основаниями $a$ и $b$ соответственно.

Площадь каждой грани равна половине произведения ее основания на высоту, проведенную к этому основанию (апофему). Пусть $h_a$ и $h_b$ – апофемы, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно. Тогда формула площади боковой поверхности примет вид: $S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a h_a) + 2 \cdot (\frac{1}{2} b h_b) = a h_a + b h_b$.

Чтобы найти апофемы, сначала определим высоты параллелограмма в основании, проведенные к сторонам $a$ и $b$. Обозначим их $H_a$ и $H_b$. Из формулы площади параллелограмма $S_{осн} = a \cdot H_a$ находим высоту, проведенную к стороне $a$: $H_a = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{360}{20} = 18$ см. Аналогично для стороны $b$: $H_b = \frac{S_{осн}}{b} = \frac{360}{36} = 10$ см.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма $O$ находится на одинаковом расстоянии от противолежащих сторон, и это расстояние равно половине соответствующей высоты параллелограмма. Обозначим эти расстояния (проекции апофем на основание) как $r_a$ и $r_b$: $r_a = \frac{H_a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см. $r_b = \frac{H_b}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Эти отрезки являются катетами в прямоугольных треугольниках, где вторым катетом является высота пирамиды $H$, а гипотенузой — соответствующая апофема.

По теореме Пифагора находим длины апофем $h_a$ и $h_b$: $h_a = \sqrt{H^2 + r_a^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. $h_b = \sqrt{H^2 + r_b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, подставив найденные значения в формулу: $S_{бок} = a \cdot h_a + b \cdot h_b = 20 \cdot 15 + 36 \cdot 13 = 300 + 468 = 768$ см?.

Ответ: 768 см?.