Номер 236, страница 72 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

236. Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Рассмотрим произвольную наклонную n-угольную призму. Её боковая поверхность представляет собой совокупность $n$ параллелограммов, которые являются боковыми гранями призмы.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех этих боковых граней: $S_{бок} = S_1 + S_2 + ... + S_n$, где $S_i$ — площадь i-ой боковой грани.

Все боковые ребра призмы параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. Обозначим длину бокового ребра буквой $l$.

Построим перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, образованный пересечением призмы с плоскостью, которая перпендикулярна её боковым рёбрам. Обозначим длины сторон этого многоугольника через $p_1, p_2, ..., p_n$.

Периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$ равен сумме длин его сторон: $P_{сеч} = p_1 + p_2 + ... + p_n$.

Рассмотрим одну из боковых граней, например, i-ую грань. Эта грань является параллелограммом. Её площадь $S_i$ можно вычислить как произведение длины основания на высоту, проведённую к этому основанию. Выберем в качестве основания боковое ребро этой грани, его длина равна $l$.

Высотой данного параллелограмма, проведённой к выбранному основанию (боковому ребру), является расстояние между этим ребром и смежным с ним боковым ребром. По определению перпендикулярного сечения, его плоскость перпендикулярна всем боковым рёбрам. Следовательно, отрезок $p_i$, являющийся стороной перпендикулярного сечения и соединяющий два смежных боковых ребра, перпендикулярен им обоим. Таким образом, длина отрезка $p_i$ и есть высота i-ой боковой грани, опущенная на сторону $l$.

Значит, площадь i-ой боковой грани вычисляется по формуле: $S_i = l \cdot p_i$.

Теперь можно найти общую площадь боковой поверхности, просуммировав площади всех граней: $S_{бок} = S_1 + S_2 + ... + S_n = l \cdot p_1 + l \cdot p_2 + ... + l \cdot p_n$.

Вынесем общий множитель $l$ за скобки: $S_{бок} = l \cdot (p_1 + p_2 + ... + p_n)$.

Выражение в скобках представляет собой периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$. Подставив это обозначение, получаем итоговую формулу: $S_{бок} = l \cdot P_{сеч}$.

Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра перпендикулярного сечения $P_{сеч}$ на длину бокового ребра $l$, что выражается формулой $S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$.