Номер 229, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

229. В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n = 3, а = 10 см, h = 15 см; б) n = 4, а = 12 дм, h = 8 дм; в) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм; г) n = 5, а = 0,4 м, h = 10 см.

Для решения задачи воспользуемся общими формулами для правильной n-угольной призмы.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Периметр основания, в свою очередь, равен произведению числа сторон ($n$) на длину стороны ($a$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (n \cdot a) \cdot h$

Площадь основания ($S_{осн}$), которое является правильным n-угольником со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Дано: $n=3$, $a=10$ см, $h=15$ см. Основание призмы — правильный (равносторонний) треугольник.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2$

2. Находим площадь основания. Для равностороннего треугольника ($n=3$) формула площади: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = (450 + 50\sqrt{3}) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{бок} = 450 \text{ см}^2$, $S_{полн} = (450 + 50\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

б)

Дано: $n=4$, $a=12$ дм, $h=8$ дм. Основание призмы — квадрат.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \text{ дм}^2$

2. Находим площадь основания. Для квадрата ($n=4$) формула площади: $S_{осн} = a^2$.

$S_{осн} = 12^2 = 144 \text{ дм}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ дм}^2$

Ответ: $S_{бок} = 384 \text{ дм}^2$, $S_{полн} = 672 \text{ дм}^2$.

в)

Дано: $n=6$, $a=23$ см, $h=5$ дм. Основание призмы — правильный шестиугольник. Сначала приведем все размеры к одной единице измерения, например, к сантиметрам: $h = 5 \text{ дм} = 50 \text{ см}$.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900 \text{ см}^2$

2. Находим площадь основания. Для правильного шестиугольника ($n=6$) формула площади: $S_{осн} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 23^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 529 \sqrt{3}}{2} = \frac{1587\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 6900 + 2 \cdot \frac{1587\sqrt{3}}{2} = (6900 + 1587\sqrt{3}) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{бок} = 6900 \text{ см}^2$, $S_{полн} = (6900 + 1587\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

г)

Дано: $n=5$, $a=0,4$ м, $h=10$ см. Основание призмы — правильный пятиугольник. Приведем все размеры к сантиметрам: $a = 0,4 \text{ м} = 40 \text{ см}$.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 5 \cdot 40 \cdot 10 = 2000 \text{ см}^2$

2. Находим площадь основания. Используем общую формулу для правильного пятиугольника ($n=5$):

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})} = \frac{5 \cdot 40^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{5})} = \frac{5 \cdot 1600}{4 \tan(36^\circ)} = \frac{2000}{\tan(36^\circ)} \text{ см}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2000 + 2 \cdot \frac{2000}{\tan(36^\circ)} = (2000 + \frac{4000}{\tan(36^\circ)}) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{бок} = 2000 \text{ см}^2$, $S_{полн} = (2000 + \frac{4000}{\tan(36^\circ)}) \text{ см}^2$.