Номер 228, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

228. Основанием наклонной призмы ABCА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором АС = AB = 13 см, ВС = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А₁ является точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите площадь грани СС₁В₁В.

По условию задачи мы имеем наклонную призму $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$. Дано:

• Основание $ABC$ – равнобедренный треугольник.
• Боковые стороны $AC = AB = 13$ см.
• Основание треугольника $BC = 10$ см.
• Угол между боковым ребром (например, $AA_1$) и плоскостью основания $(ABC)$ равен $45^\circ$.
• Проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $(ABC)$ — это точка $O$, которая является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$.

Нужно найти площадь боковой грани $CC_1B_1B$. Эта грань является параллелограммом.

1. Найдем длину медианы $AM$ треугольника $ABC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ медиану $AM$ к основанию $BC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, медиана $AM$ также является высотой и биссектрисой. Следовательно, $AM \perp BC$ и точка $M$ — середина $BC$. $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMC$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AM^2 + MC^2$ $13^2 = AM^2 + 5^2$ $169 = AM^2 + 25$ $AM^2 = 169 - 25 = 144$ $AM = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем расстояние $AO$ и высоту призмы $H$.

Точка $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $O$ лежит на медиане $AM$. $AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

По условию, $O$ является проекцией $A_1$ на плоскость $(ABC)$. Это значит, что $A_1O$ — высота призмы $H$, и $A_1O \perp (ABC)$. Отрезок $AO$ является проекцией наклонной $AA_1$ (бокового ребра) на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол $\angle A_1AO$. По условию, $\angle A_1AO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AO$ (прямой угол $\angle A_1OA$). Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то этот треугольник равнобедренный, и $A_1O = AO$. Высота призмы $H = A_1O = AO = 8$ см.

3. Найдем длину бокового ребра $L$.

Длина бокового ребра $L = AA_1$. В том же прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AO$: $AA_1 = \frac{AO}{\cos(45^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ см. Все боковые ребра призмы равны, следовательно, $CC_1 = BB_1 = AA_1 = 8\sqrt{2}$ см.

4. Найдем площадь грани $CC_1B_1B$.

Грань $CC_1B_1B$ является параллелограммом со сторонами $BC$ и $CC_1$. Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $S = BC \cdot CC_1 \cdot \sin(\angle C_1CB)$.

Найдем угол $\angle C_1CB$. Так как $AM$ — высота в $\triangle ABC$, то $AM \perp BC$. Прямая $AO$ лежит на прямой $AM$, следовательно, $AO \perp BC$. $AO$ — это проекция наклонной $AA_1$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($AO$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($AA_1$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $AA_1 \perp BC$.

Боковые ребра призмы параллельны, поэтому $CC_1 \parallel AA_1$. Если $AA_1 \perp BC$, то и $CC_1 \perp BC$. Это означает, что угол между ребром $CC_1$ и ребром $BC$ равен $90^\circ$. Таким образом, параллелограмм $CC_1B_1B$ на самом деле является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $CC_1B_1B$ равна произведению его смежных сторон: $S_{CC_1B_1B} = BC \cdot CC_1$ $S_{CC_1B_1B} = 10 \cdot 8\sqrt{2} = 80\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^2$.