Номер 221, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$, где $ABC$ — нижнее основание, а $A_1 B_1 C_1$ — верхнее. По условию задачи, сторона основания $a = 8$ см, а боковое ребро (которое также является высотой призмы) $h = 6$ см.

Сечение, площадь которого необходимо найти, проходит через сторону верхнего основания, например $A_1 B_1$, и противолежащую вершину нижнего основания, то есть $C$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $A_1 B_1 C$.

Основание этого треугольника, сторона $A_1 B_1$, является стороной верхнего основания призмы, поэтому её длина равна $a = 8$ см. Треугольник $A_1 B_1 C$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $A_1 C$ и $B_1 C$ — это равные диагонали равных боковых граней (прямоугольников $AA_1 C_1 C$ и $BB_1 C_1 C$).

Для нахождения площади треугольника $S_{A_1 B_1 C}$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем высоту $CK_1$ к основанию $A_1 B_1$. Длину высоты $CK_1$ можно найти с помощью теоремы Пифагора, рассмотрев вспомогательный прямоугольный треугольник $CKK_1$, где $K_1$ — середина стороны $A_1 B_1$, а $K$ — проекция точки $K_1$ на нижнее основание (то есть середина стороны $AB$).

Один катет этого вспомогательного треугольника, $KK_1$, равен высоте призмы: $KK_1 = h = 6$ см. Второй катет, $CK$, является высотой равностороннего треугольника $ABC$ в основании призмы. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вычисляем $CK$: $CK = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Так как призма правильная, ребро $KK_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и отрезку $CK$. Следовательно, треугольник $CKK_1$ — прямоугольный. Находим его гипотенузу $CK_1$ (которая является высотой нашего сечения) по теореме Пифагора: $CK_1^2 = CK^2 + KK_1^2 = (4\sqrt{3})^2 + 6^2 = 16 \cdot 3 + 36 = 48 + 36 = 84$. $CK_1 = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Теперь, зная основание ($A_1 B_1 = 8$ см) и высоту ($CK_1 = 2\sqrt{21}$ см) треугольника-сечения, находим его площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot A_1 B_1 \cdot CK_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21}$ см?.

Ответ: $8\sqrt{21}$ см?.