Номер 215, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

215. Параллельные прямые AB и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и D удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $m$ (ребро двугранного угла). По условию, угол между полуплоскостями равен $60^\circ$. В полуплоскости $\alpha$ лежит прямая $AB$, а в полуплоскости $\beta$ — прямая $CD$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Рассмотрим плоскость $\gamma$, в которой лежат параллельные прямые $AB$ и $CD$. Эта плоскость пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$, а плоскость $\beta$ — по прямой $CD$. Так как три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ пересекаются попарно, то три линии их пересечения ($AB$, $CD$ и $m$) либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Поскольку по условию $AB \parallel CD$, они не могут пересекаться, следовательно, все три прямые параллельны: $AB \parallel CD \parallel m$.

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния построим плоскость $\Pi$, перпендикулярную ребру $m$. Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны ребру $m$, плоскость $\Pi$ будет также перпендикулярна и прямым $AB$ и $CD$.

Пусть плоскость $\Pi$ пересекает прямые $m$, $AB$ и $CD$ в точках $O$, $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$, и его длина и есть искомое расстояние. В плоскости $\Pi$ лучи $OP$ и $OQ$ образуют угол, равный линейному углу двугранного угла, то есть $\angle POQ = 60^\circ$.

Расстояние от точки $A$ до ребра $m$ равно 8 см. Так как $AB \parallel m$, все точки прямой $AB$ удалены от ребра $m$ на 8 см. Следовательно, длина отрезка $OP$ равна 8 см. Аналогично, расстояние от точки $D$ до ребра $m$ равно 6,5 см. Так как $CD \parallel m$, все точки прямой $CD$ удалены от ребра $m$ на 6,5 см. Следовательно, длина отрезка $OQ$ равна 6,5 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle POQ$. По теореме косинусов найдем длину стороны $PQ$ (расстояние между прямыми $AB$ и $CD$):
$|PQ|^2 = |OP|^2 + |OQ|^2 - 2 \cdot |OP| \cdot |OQ| \cdot \cos(\angle POQ)$
$|PQ|^2 = 8^2 + (6,5)^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6,5 \cdot \cos(60^\circ)$
$|PQ|^2 = 64 + 42,25 - 2 \cdot 8 \cdot 6,5 \cdot \frac{1}{2}$
$|PQ|^2 = 64 + 42,25 - 52$
$|PQ|^2 = 12 + 42,25 = 54,25$
$|PQ| = \sqrt{54,25}$ см.

Ответ: $\sqrt{54,25}$ см.