Номер 208, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

208. Из точки K, удалённой от плоскости α на 9 см, проведены к плоскости α наклонные KL и KМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью α — углы в 45° и 30° соответственно. Найдите отрезок LM.

Пусть $H$ — это проекция точки $K$ на плоскость $?$. Тогда отрезок $KH$ является перпендикуляром к плоскости $?$, и его длина равна расстоянию от точки $K$ до плоскости, то есть $KH = 9$ см.

Отрезки $KL$ и $KM$ — это наклонные, проведенные из точки $K$ к плоскости $?$. Отрезки $HL$ и $HM$ являются их проекциями на эту плоскость.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Таким образом, по условию задачи, угол между наклонной $KL$ и её проекцией $HL$ равен $45°$ ($?KLH = 45°$), а угол между наклонной $KM$ и её проекцией $HM$ равен $30°$ ($?KMH = 30°$).

Так как $KH$ перпендикулярен плоскости $?$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $?KHL$ и $?KHM$ — прямоугольные с прямыми углами при вершине $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $?KHL$. В нём известен катет $KH = 9$ см и противолежащий ему угол $?KLH = 45°$. Найдём длину гипотенузы (наклонной) $KL$:$KL = \frac{KH}{sin(?KLH)} = \frac{9}{sin(45°)} = \frac{9}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $?KHM$. В нём известен катет $KH = 9$ см и противолежащий ему угол $?KMH = 30°$. Найдём длину гипотенузы (наклонной) $KM$:$KM = \frac{KH}{sin(?KMH)} = \frac{9}{sin(30°)} = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 18$ см.

3. По условию, наклонные $KL$ и $KM$ образуют между собой прямой угол, то есть $?LKM = 90°$. Это означает, что треугольник $?LKM$ является прямоугольным, где $KL$ и $KM$ — катеты, а искомый отрезок $LM$ — гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $?LKM$:$LM^2 = KL^2 + KM^2$

Подставим найденные значения длин $KL$ и $KM$:$LM^2 = (9\sqrt{2})^2 + 18^2 = (81 \cdot 2) + 324 = 162 + 324 = 486$

Теперь найдём длину $LM$:$LM = \sqrt{486} = \sqrt{81 \cdot 6} = 9\sqrt{6}$ см.

Ответ: $9\sqrt{6}$ см.