Номер 204, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых AB, ВС и СА; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

а) Найти расстояние от точки $M$ до каждой из вершин треугольника $ABC$ и до прямых $AB, BC$ и $CA$.

Поскольку прямая $OM$ перпендикулярна плоскости правильного треугольника $ABC$ ($OM \perp (ABC)$) и проходит через его центр $O$, то $OM$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$. Следовательно, треугольник $\triangle MOC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MOC = 90^\circ$.

1. Расстояние от точки $M$ до вершин треугольника.

Так как $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, он равноудален от его вершин, то есть $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$. У них общий катет $OM=a$ и равные вторые катеты $OA = OB = OC$. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, а значит, равны и их гипотенузы: $MA = MB = MC$.

Найдем длину гипотенузы $MC$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOC$. Известны катет $OM = a$ и противолежащий ему угол $\angle MCO = \phi$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MCO) = \frac{OM}{MC}$

$\sin(\phi) = \frac{a}{MC}$

Отсюда находим расстояние от точки $M$ до каждой из вершин:

$MA = MB = MC = \frac{a}{\sin(\phi)}$

2. Расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны треугольника.

В силу симметрии, расстояния от точки $M$ до прямых $AB, BC$ и $CA$ равны. Найдем расстояние от точки $M$ до прямой $BC$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Пусть $K$ — середина стороны $BC$. В правильном треугольнике медиана $AK$ является и высотой, поэтому $OK \perp BC$. Отрезок $OK$ является радиусом вписанной в треугольник окружности ($OK = r$).

Согласно теореме о трех перпендикулярах, так как $OM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MK$ — наклонная, а $OK$ — ее проекция на эту плоскость, и при этом проекция $OK$ перпендикулярна прямой $BC$, то и сама наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $BC$ ($MK \perp BC$). Таким образом, длина отрезка $MK$ и есть искомое расстояние.

Найдем длину $MK$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ (где $\angle MOK = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $MK^2 = OM^2 + OK^2$.

Для этого сначала найдем $OK = r$. В прямоугольном $\triangle MOC$ найдем катет $OC = R$ (радиус описанной окружности):

$\cot(\angle MCO) = \frac{OC}{OM} \implies \cot(\phi) = \frac{R}{a} \implies R = a \cot(\phi)$

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной: $r = \frac{R}{2}$.

$OK = r = \frac{a \cot(\phi)}{2}$

Теперь можем вычислить $MK$:

$MK^2 = a^2 + \left(\frac{a \cot(\phi)}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2 \cot^2(\phi)}{4} = a^2\left(1 + \frac{\cot^2(\phi)}{4}\right) = \frac{a^2(4 + \cot^2(\phi))}{4}$

$MK = \sqrt{\frac{a^2(4 + \cot^2(\phi))}{4}} = \frac{a}{2}\sqrt{4 + \cot^2(\phi)}$

Ответ: расстояние от точки $M$ до каждой из вершин треугольника $ABC$ равно $\frac{a}{\sin(\phi)}$, а расстояние от точки $M$ до каждой из прямых $AB, BC, CA$ равно $\frac{a}{2}\sqrt{4 + \cot^2(\phi)}$.

б) Найти длину окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

В пункте а) мы нашли, что $R = a \cot(\phi)$.

Подставим это значение в формулу:

$L = 2\pi (a \cot(\phi)) = 2\pi a \cot(\phi)$

Ответ: $2\pi a \cot(\phi)$.

в) Найти площадь треугольника $ABC$.

Площадь правильного треугольника $S$ можно вычислить через радиус описанной окружности $R$ по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Используя найденное ранее значение $R = a \cot(\phi)$, получаем:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}(a \cot(\phi))^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \cot^2(\phi)$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \cot^2(\phi)$.